《计算》第五六章读书笔记

《计算》第五六章读书笔记

第五章的题目是“第三次数学危机”。所谓危机，就是人们原本以为非常可靠的数学体系，突然被发现里面有漏洞，甚至有可能推翻整个系统。第五章里说的“第三次数学危机”，主要和集合论有关。托尔提出了集合论，把“无限”用一种系统的方法来研究，看起来很美妙，但很快人们就发现了一些悖论。比如著名的“罗素悖论”：假设有一个“包含所有不包含自身的集合的集合”，那么它到底包含不包含自己？如果包含就矛盾，不包含也矛盾。这类问题让数学家们非常震惊，因为这说明数学内部居然会出现逻辑自相矛盾的情况。原本大家以为数学是最坚固的真理，结果发现它也可能会动摇。这就是“第三次数学危机”的核心：数学并不是完美无缺的，而是需要重新审视和修正的。对我来说，这让我联想到在软件开发里，我们设计的一套系统架构，看似逻辑严密，但在极端情况下可能会出现死循环或无法处理的特殊情况。这提醒我们既要追求完美的方法，也要接受系统永远会有边界和不确定性。

第六章讲的是“计算理论的奠基：希尔伯特进路”。希尔伯特是当时最有影响力的数学家，他试图解决“第三次数学危机”。他的思路是把数学彻底形式化，也就是说，把数学中的一切都转化为清晰的符号和规则，不依赖直觉或经验，只依赖逻辑推演。这样的话，就可以通过有限的规则证明整个体系是可靠的。希尔伯特提出了一系列“希尔伯特计划”，希望通过严格的公理体系，把数学的地基打得坚固无比。可以说，希尔伯特的进路是对莱布尼茨梦想的延续：希望用符号化、形式化来保证理性。他的努力推动了后来计算理论的发展，比如图灵机的提出，现代计算机理论的奠基，都和他的思路密切相关。