当前位置：首页 > news >正文

三次样条曲线速度规划方法介绍

news 2025/9/22 13:14:49

三次样条曲线速度规划方法是一种通过分段三次多项式实现平滑轨迹规划的技术，其核心在于保证位置、速度和加速度的连续性‌。

1. 三次样条插值基础

给定n+1个点(xi,yi)，每段三次多项式形式为：

s_i(x) = a_i + b_i(x-x_i) + c_i(x-x_i)^2 + d_i(x-x_i)^3

其中ai=yi，bi、ci、di需通过约束条件求解‌。

2. 三弯矩法求解系数

通过构建三弯矩方程组确定二阶导数mi（即ci）：

% 构建三弯矩矩阵A和右端向量d
A = 2*eye(n-1) + diag(v,1) + diag(u,-1); % v=hi/(hi+hi+1), u=hi+1/(hi+hi+1)
d = 6*[ (y(i+1)-y(i))/h(i) - (y(i)-y(i-1))/h(i-1) for i=2:n-1 ];
% 边界条件：m1=0, mn=0（自然样条）
m = [0; A\d; 0]; % 解方程组
系数计算：

b_i = (y(i+1)-y(i))/h(i) - h(i)/6*(2*m(i)+m(i+1));
d_i = (m(i+1)-m(i))/(6*h(i));

3. 速度规划实现

归一化三次多项式速度剖面（u=t/T）：

s(u) = 3*u^2 - 2*u^3; % 位置
v(u) = 6*u - 6*u^2; % 速度
a(u) = 6 - 12*u; % 加速度
需满足vmax≤vlim，通过调整总时间T实现‌。

4. MATLAB完整示例

% 输入数据点
x = [x0, x1, ..., xn];
y = [y0, y1, ..., yn];
h = diff(x);

% 三弯矩法求解
A = 2*eye(n-1) + diag(h(2:end-1)./(h(2:end-1)+h(1:end-2)),1) + diag(h(2:end-1)./(h(1:end-2)+h(2:end-1)),-1);
d = 6*[ (y(3:end)-y(2:end-1))./h(2:end-1) - (y(2:end-1)-y(1:end-2))./h(1:end-2) ];
m = [0; A\d; 0];

% 计算系数
b = (y(2:end)-y(1:end-1))./h(1:end-1) - h(1:end-1)./6*(2*m(2:end-1)+m(3:end));
d_coeff = (m(3:end)-m(2:end-1))./(6*h(1:end-1));