应用随机过程(三)

应用随机过程（三）

一、条件数学期望

1.基于条件概率密度函数（适用于连续随机变量）

若随机变量 X 和 Y 有联合概率密度函数 $f_{X,Y}(x,y)$​，且给定 $Y=y$​ 时 X 的条件密度为 $f_{X|Y}(x|y)$​，则 条件期望 定义为：
$$E[X\mid Y=y]={\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot f_{X|Y}(x|y)dx$$
注意：结果依赖于 y，因此 $E[X\mid Y]$ 是一个关于 Y 的随机变量

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2.基于条件概率质量函数（适用于离散随机变量）
若$X$ 和 $Y$是离散随机变量，联合概率质量为 $p_{X,Y}(x,y)$，给定 $Y=y$ 的条件概率为 $p_{X|Y}(x|y)$，则：
$$E[X\mid Y=y]=\sum _{x}x\cdot p_{X|Y}(x|y)$$
同样，$E[X|Y]$是$Y$的函数，故为随机变量。

二、鞅

2.1 鞅的定义

在随机过程里，我们不光关心单个$X$的期望，还关心在某个时刻的观测，对未来的“最佳预测”。这个工具就是 条件期望。

设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 是概率空间，{Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n\geq0}{Fn​}n≥0​ 是一个滤过 (filtration): =={Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n\geq 0}{Fn​}n≥0​ 是递增的 $\sigma$-代数序列（即 ${\mathcal{F}}_n\subseteq {\mathcal{F}}_{n+1}\subseteq \mathcal{F}$），代表随时间增长的信息。==随机过程 {Xn}n≥0\{X_n\}_{n\geq0}{Xn​}n≥0​ 称为关于 {Fn}\{\mathcal{F}_n\}{Fn​} 的鞅，若满足：

1. 适应性 (adaptedness)
   对每个 $n$，$X_n$ 是 ${\mathcal{F}}_n$-可测的。(即：在时刻 $n$ 的值完全由当时的信息决定，不依赖未来信息。)

2. 可积性 (integrability)
   对每个 $n$，有
   $$E[|X_n|]<\infty$$

3. 鞅性质 (martingale property)
   对所有 $n$，有
   $$E[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]=X_n,\text{几乎必然 (a.s.)}.$$
   对于鞅性质，我们举一个例子。假设一个赌博者，经历了前面n次赌博，平均而言，对接下来的第$n+1$次的赌资$X_{n+1}$，是等于现在的赌资$X_n$的。换句话说，基于现在所知道的所有信息，对未来的最佳平均预测就等于当前的值，就是未来没有系统性地上升或者下降。从而说明这个博弈就是公平的。**

2.2 上鞅与下鞅

• 上鞅 (Submartingale)
  $$E[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]\ge X_n,\text{a.s.}$$
  表示“平均而言往上走”，有上升趋势。

• 下鞅 (Supermartingale)
  $$E[X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n]\le X_n,\text{a.s.}$$
  表示“平均而言往下走”，有下降趋势。

2.3 连续时间鞅

设过程{Xt}t≥0\{X_t\}_{t\geq0}{Xt​}t≥0​定义在连续时间上，关于滤过{Ft}t≥0\{\mathcal{F}_t\}_{t\geq0}{Ft​}t≥0​,若满足：

1. $X_t$是${\mathcal{F}}_t$-适应的；

2. $E[|X_t|]<\infty$,对所有$t\ge 0;$

3. 对所有$s<t$,
   $$E[X_t\mid {\mathcal{F}}_s]=X_s,\text{a.s.}$$

则称{Xt}\{X_t\}{Xt​}是连续时间鞅。

对应地，满足”不等号版本"即是连续时间的上鞅、下鞅。

2.4 鞅的性质

1. 公平性
   鞅建模的是“公平博弈”：在已知当前全部信息后，未来的期望收益等于现在。

2. 保持期望
   若 {Xn}\{X_n\}{Xn​} 是鞅，则 $E[X_{n+1}]=E[X_n]$，即整个过程的期望值不随时间变化。

3. 线性组合
   若 {Xn}\{X_n\}{Xn​}，{Yn}\{Y_n\}{Yn​} 是鞅，且 $\alpha ,\beta$ 为常数，则 $\alpha X_n+\beta Y_n$ 也是鞅。

4. 停时性质
   在满足一定条件下，鞅过程在 “停时” 处的期望等于其初始时刻的期望。数学表示为：若 $\tau$ 是一个合适的“停时”（随机时间），则在一定条件下
   $$E[X_{\tau }]=E[X_0].$$
   这是鞅论的一个重要工具。
   例：在 “时间 t” 时，仅通过 “前 t 步的信息”(${\mathcal{F}}_t$)，就能判断 “停时是否已发生”（即是否在 t 之前或此时停止）。

• 对称随机游走中，首次到达 1 的时间 (T=min⁡{n≥0:Xn=1}T = \min\{n \geq 0: X_n = 1\}T=min{n≥0:Xn​=1}) 是停时（在 n 时刻，可通过前 n 步轨迹判断是否已到 1）。
• 布朗运动中，首次触及边界 a 的时间 ($T = \inf{t \geq 0: B_t = a}\ $) 是停时。

5. Markov 性质
   鞅不等于马尔可夫过程，但有类似的“只依赖当前”的味道：条件期望只看现在。