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数据结构笔试选择题：题组1

news 2025/9/23 7:30:56

题目（共8小题）

1.（单选）有以下关键字序列(21,40,52,45,29,12,02,66)，H(K)=K%11。试在0~10的散列空地址空间中，用线性探测再散列方法处理冲突，则等概率下查找成功的平均查找长度为

A. 3/4 B. 2/3 C. 4/3 D. 3/2

2.（单选）一个树高为6（根节点高度为1）的平衡二叉树，节点数可能是

A. 32 B. 16 C. 128 D. 64

3.（单选）关键字序列是 {12, 11, 19, 23, 1, 6, 10}，哈希函数是 H(key) = key MOD 11。用链地址法构造哈希表，哈希地址为 1 的链中有多少个记录？

A. 5 B. 7 C. 3 D. 4

4.（单选）以下程序是用辗转相除法来计算两个非负数之间的最大公约数：

long long gcd(long long x, long long y){if(y==0)return x;else return gcd(y, x%y);
}

我们假设x，y中最大的那个数的长度为n，基本运算时间复杂度是O(1)，那么该程序的时间复杂度为
A. O(1) B. O(log n) C. O(n) D. O(n^2)

5.（多选）以下排序算法时间复杂度为 O(n log n) 的是

A. 快速排序 B. 冒泡排序 C. 插入排序 D. 堆排序

6.（多选）已知中序遍历的序列是abcdef，则高度最小的二叉树的叶子节点可能是

A. a, c, f B. a, c, e C. c, d, f D. a, d, f

7.（填空）输入序列为1,2,3，经过栈的作用后，可以得到（）种不同的输出序列。

8.（填空）若初始序列为gbfcdae，那么至少需要（）次两两交换，才能使该序列变为abcdefg。任给一个自由a-g这7个字母组成的排列，最坏的情况下需要至少（）次两两交换，才能使序列变为abcdefg。

解答

1.【答案】D

【解析】根据给定的关键字序列（21, 40, 52, 45, 29, 12, 02, 66）和哈希函数 H(K) = K % 11，使用线性探测再散列处理冲突，在0~10的散列地址空间中，计算等概率下查找成功的平均查找长度（ASL）。

插入过程模拟：

H(21) = 10 → 位置10插入21，比较1次
H(40) = 7 → 位置7插入40，比较1次
H(52) = 8 → 位置8插入52，比较1次
H(45) = 1 → 位置1插入45，比较1次
H(29) = 7 → 位置7有冲突，线性探测位置8、9，位置9插入29，比较3次
H(12) = 1 → 位置1有冲突，线性探测位置2，位置2插入12，比较2次
H(02) = 2 → 位置2有冲突，线性探测位置3，位置3插入02，比较2次
H(66) = 0 → 位置0插入66，比较1次

查找成功的比较次数：

查找21：比较1次
查找40：比较1次
查找52：比较1次
查找45：比较1次
查找29：比较3次
查找12：比较2次
查找02：比较2次
查找66：比较1次

总比较次数 = 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 + 1 = 12

关键字个数 = 8

平均查找长度（ASL） = 12 / 8 = 3/2

因此，正确答案是选项 D. 3/2。

2.【答案】A

【解析】题目是关于树高为6（根节点高度为1）的平衡二叉树的节点数。平衡二叉树（如AVL树）的节点数对于给定高度有一个范围。对于高度h，最小节点数由递推关系 N(h)=N(h−1)+N(h−2)+1决定，其中 N(1)=1, N(2)=2。计算高度6的最小节点数：

N(3)=N(2)+N(1)+1=2+1+1=4
N(4)=N(3)+N(2)+1=4+2+1=7
N(5)=N(4)+N(3)+1=7+4+1=12
N(6)=N(5)+N(4)+1=12+7+1=20

最大节点数对应于完全二叉树，节点数为 $2^h-1$ 。对于高度6，最大节点数为 $2^6-1=63$ 。

因此，高度为6的平衡二叉树节点数范围是20到63。所以，节点数可能是32，正确答案是A. 32。

3.【答案】C

【解析】根据给定的关键字序列 {12, 11, 19, 23, 1, 6, 10} 和哈希函数 H(key) = key MOD 11，使用链地址法构造哈希表时，需要计算每个关键字的哈希地址，并找出哈希地址为 1 的链中的记录数量。计算每个关键字的哈希地址：

H(12) = 12 MOD 11 = 1
H(11) = 11 MOD 11 = 0
H(19) = 19 MOD 11 = 8
H(23) = 23 MOD 11 = 1
H(1) = 1 MOD 11 = 1
H(6) = 6 MOD 11 = 6
H(10) = 10 MOD 11 = 10

哈希地址为 1 的关键字有：12、23、1，共 3 个记录。

因此，哈希地址为 1 的链中有 3 个记录，对应选项 C。

4.【答案】C

【解析】根据给定的代码和问题描述，程序使用辗转相除法（欧几里得算法）计算两个非负数的最大公约数。假设x和y中最大的数的长度为n（即位数），基本运算时间复杂度为O(1)。

辗转相除法的时间复杂度取决于递归调用的次数。在最坏情况下（如连续斐波那契数），递归次数为O(log min(x, y))。由于最大数的长度为n，即最大数N ≈ 10^n（或以2为底，但大O表示法中对数底数不影响复杂度级别），因此log min(x, y) ≤ log N = O(n)。这意味着递归次数与n成线性关系。

因此，该程序的时间复杂度为O(n)。

5.【答案】AD

【解析】根据排序算法的时间复杂度分析：

快速排序（A）：平均时间复杂度为 O(n log n)，符合条件。
堆排序（D）：时间复杂度为 O(n log n)，符合条件。
冒泡排序（B）和插入排序（C）的时间复杂度均为 O(n²)，不符合条件。

因此，正确答案是 A 和 D。

6.【答案】ABD

【解析】根据中序遍历序列为abcdef，构建高度最小的二叉树（高度为3），可能的结构有两种情况：

根节点为c：左子树包含a和b，右子树包含d、e、f。右子树为平衡结构（根为e，左孩子d，右孩子f）。左子树有两种可能：
- 左子树根为a，右孩子b → 叶子节点为b、d、f。
- 左子树根为b，左孩子a → 叶子节点为a、d、f。
  因此，叶子节点可能为{a, d, f}（对应选项D）。
根节点为d：左子树包含a、b、c，右子树包含e、f。左子树为平衡结构（根为b，左孩子a，右孩子c）。右子树有两种可能：
- 右子树根为e，右孩子f → 叶子节点为a、c、f（对应选项A）。
- 右子树根为f，左孩子e → 叶子节点为a、c、e（对应选项B）。

选项C（c, d, f）不可能出现，因为在任何高度最小的树结构中，c和d不能同时为叶子节点（根为c时d是叶子但c不是，根为d时c是叶子但d不是）。

因此，可能出现的叶子节点组合为选项A、B、D。

7.【答案】5

【解析】根据栈的后进先出（LIFO）特性，输入序列为1,2,3时，所有可能的输出序列可以通过枚举所有合法的入栈和出栈操作得到。可能的输出序列有5种：