动态规划算法的欢乐密码(六)：子数组系列(下)
专栏：算法的魔法世界
个人主页：手握风云
目录
一、例题讲解
1.1. 等差数列划分
1.2. 最长湍流子数组
1.3. 单词拆分
1.4. 环绕字符串中唯一的子字符串
一、例题讲解
1.1. 等差数列划分
给定一个整数数组 nums，返回数组中所有为等差数列的子数组个数。 等差数列是指一个数列中，任意两个相邻元素之间的差值都相等。
根据题目要求，本题的状态表示为以i位置为结尾，所有子数组的中有多少个等差数列。如下图所示，如果a1、a2、a3、a4能构成等差数列，同时a3、a4、a5也能构成等差数列，那么我们很容易得出a1、a2、a3、a4、a5也能构成等差数列。
要想构成等差数列，至少是3个元素。如果nums[i]与nums[i-1]，nums[i-2]能构成等差数列，那么以nums[i]为结尾的等差子数组，是在以nums[i - 1]结尾的等差子数组的基础上，再额外追加上nums[i]，dp[i]=dp[i-1]+1。如果nums[i]与nums[i-1]，nums[i-2]不能构成等差数列，那么前面有多少等差子数组也没用，dp[i]=0。
初始化的时候，以nums[0]和nums[1]为结尾，都无法构成等差子数组，所以dp[0]与dp[1]初始化为0。填表顺序，从左到右。返回值，我们需要所有等差子数组的数量，所以我们需要遍历dp表求和再返回。
完整代码实现：
class Solution {public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {int n = nums.length, ret = 0;// 数组长度小于3，无法形成等差数列if (n < 3) {return 0;}int[] dp = new int[n];for (int i = 2; i < n; i++) {// 如果当前元素与前两个元素构成等差数列if (nums[i] - nums[i - 1] == nums[i - 1] - nums[i - 2]) {dp[i] = dp[i - 1] + 1;}}// 计算所有等差数列的数量for (int i : dp) {ret += i;}return ret;}
}1.2. 最长湍流子数组
给定一个整数数组 arr，我们需要找到一个最长的子数组，这个子数组被称为"湍流子数组"。湍流子数组的定义是： 1. 对于子数组中的所有相邻元素对，它们的符号交替变化。具体来说： • 如果 arr[i] > arr[i+1]，那么下一个比较应该是 arr[i+1] < arr[i+2] • 如果 arr[i] < arr[i+1]，那么下一个比较应该是 arr[i+1] > arr[i+2]。
根据题目要求，本题的状态表示为：以i位置为结尾最长湍流子数组的长度。当我们以arr[i]为结尾时，需要与arr[i-1]进行比较，此时可以分为3种情况：arr[i]>arr[i-1]、arr[i]>arr[i-1]、arr[i]==arr[i-1]。那么我们的状态表示可以继续细分：f[i]表示以i位置元素为结尾的所有子数组中，最后呈现“上升"状态下的最长湍流数组的长度；g[i]表示以i位置元素为结尾的所有子数组中，最后呈现“下降”状态下的最长湍流数组的长度。
当arr[i]<=arr[i-1]时，那么只能最后一个元素构成子数组，f[i]=1；当arr[i]>arr[i-1]时，那么就是前面下降状态的最长湍流数组再加上nums[i]本身(g[i-1])，f[i]=g[i-1]+1。同理，当arr[i]>=arr[i-1]时，g[i]=1；当arr[i]<arr[i-1]时，g[i]=f[i-1]+1。
初始化：因为单独一个元素也可以构成湍流子数组，所以两个表都可以初始化为1，并且还能简化填表。填表顺序从左到右两个表同时填写。返回值：两个表里面的最大值。
完整代码实现：
class Solution {public int maxTurbulenceSize(int[] arr) {int n = arr.length, ret = 0;if (n == 1) {return 1;}int[] f = new int[n];int[] g = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {f[i] = g[i] = 1;}for (int i = 1; i < n; i++) {if (arr[i] > arr[i - 1]) {f[i] = g[i - 1] + 1;} else if (arr[i] < arr[i - 1]) {g[i] = f[i - 1] + 1;}ret = Math.max(ret, Math.max(f[i], g[i]));}return ret;}
}1.3. 单词拆分
给定一个仅由小写英文字母组成的字符串s，以及一个同样由小写英文字母组成、且所有字符串互不相同的单词列表wordDict。判断字符串s能否通过拼接wordDict中的一个或多个单词得到。
根据题目要求，本题的状态表示为[0, i]区间内的字符串能否被字典内的单词拼接而成，就意味着我们的dp表要创建成一个boolean类型的。动态规划根据前一步划分问题，以[j, i]为索引的单词是否存在于字典wordDict中，s的区间[0, j - 1]是否能被字典内的单词拼接而成，那么dp[i]才能被拼接成，所以状态转移方程为dp[i]=dp[j-1]&&wordDict.contains。初始化的时候，我们在前面加一个虚拟头节点，当j=0时，如果s存在于wordDict中，当dp[0]=true时，dp[1]=true。字符串在映射时，我们可以在s前面添加一个","或者"_"来保证映射关系正确。填表顺序，从左到右。返回值，返回dp表最后一个值。
完整代码实现：
class Solution {public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {int n = s.length();boolean[] dp = new boolean[n + 1];dp[0] = true;// 将字符串s前面加上一个逗号，方便处理s = "," + s;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i; j >= 1; j--) {if (dp[j - 1] && wordDict.contains(s.substring(j, i + 1))) {// 如果s[1,j-1]可以被拆分，并且s[j,i]在字典中，则s[1,i]可以被拆分dp[i] = true;break;}}}return dp[n];}
}1.4. 环绕字符串中唯一的子字符串
存在一个无限环绕的字符串base，由小写字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz循环组成，给定一个小写字母字符串s，统计并返回 s 中有多少不同非空子串也在 base 中出现。
根据题目要求，本题的状态表示为以i位置为结尾的所有子串中，有多少个在base中出现。当子串长度为1，也就是以自身一个字符为子串，那么dp[i]=1(此时一定存在于base中)；当子串长度大于1，s.substring(0, i-1)也存在于base中，如果再加上最后一个字符也能存在于base中，那么dp[i]=dp[i-1]+1。初始化的时候，因为一个字符也能存在于base中，所以我们dp里面的值都初始化为1。填表顺序，从左往右。返回值需要注意，在示例2中出现了两个重复子串"c"，所以我们还要进行去重。相同字符结尾的dp值取最大，我们可以使用大小为26的哈希数组来保存字符结尾最大的dp值。
完整代码实现：
class Solution {public int findSubstringInWraproundString(String s) {int n = s.length();int[] dp = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i] = 1;}for (int i = 1; i < n; i++) {// 判断当前字符串是否与前一个相邻if (s.charAt(i - 1) + 1 == s.charAt(i) || (s.charAt(i - 1) == 'z' && s.charAt(i) == 'a')) {// 如果相邻，则当前字符串的长度加1dp[i] += dp[i - 1];}}char[] arr = s.toCharArray();int[] hash = new int[26];int ret = 0;// dp[i]表示以第i个字符结尾的字符串的最大长度for (int i = 0; i < n; i++) {hash[arr[i] - 'a'] = Math.max(hash[arr[i] - 'a'], dp[i]);}for (int i : hash) {ret += i;}return ret;}
}