线性控制理论：线性系统状态空间

21世纪以来，智能结构、智能材料、智能系统等发展迅猛，凸显了系统控制论的重要性。系统控制论脱胎于力学，现在已发展成为独立的主干学科。

首先简要谈一下历史，即从经典控制论向现代控制论的转变。20世纪50年代是经典控制论发展的蓬勃期；在计算技术的指导下，20世纪60年代发生了从经典控制论到现代控制论的根本性转变，这种转变以状态空间法为标志，使得控制论的方法论得到根本改变。

现如今系统控制论已经按照其自身的规律发展，离力学越来越远，然而现代交叉学科研究表明，控制论和结构力学某些数学结构是一致的。学科一旦交叉，就缩短了相互之间的距离。

系统控制论是在动力系统的基础上展开的，而动力系统通常是由一组常微分方程或差分方程表达的。由于线性系统便于数学处理，因此线性系统理论在控制论中有重要地位。动态系统的数学描述有两种，一是输入-输出描述（也称为外部描述）；二是状态空间描述。重点解释第二种方法，状态空间描述借鉴了经典力学的概念，例如哈密顿力学就是用状态空间描述的。

1. 系统的输入-输出描述（经典控制论方法）

单输入-单输出的定常系统，即只有一个输入变量$u$和一个输出变量$y$，可用一个常系数线性常微分方程表示：
$$\begin{array}{rl}& y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_{0}y\\ & =b_{n-1}{u}^{(n-1)}+\cdots +b_1{u}^{(1)}+b_{0}u\end{array}(1.2)$$

式中，$a_i,b_i$均为实常数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶时间导数。对上式做拉普拉斯变换，假定输入$u$和输出$y$均有初始条件，则系统在复频率域内额描述为：
$$\begin{array}{rl}& \tilde{y}(s)=G(s)\times \tilde{u}(s)\\ & L(y)=\tilde{y}(s)={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}y(t)\mathrm{d}t\\ & L^{-1}(\tilde{y})=y(t)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\sigma -\mathrm{i}\infty }^{\sigma +\mathrm{i}\infty }{\mathrm{e}}^{ts}\tilde{y}(s)\mathrm{d}s\end{array}$$

式中，$\tilde{u}(s),\tilde{y}(s)$输入和输出的拉普拉斯变换的像函数；系统的传递函数为：

G(s)=B(s)A(s)=bn−1s(n−1)+⋯+b1s(1)+b0s(n)+an−1s(n−1)+⋯+a1s(1)+a0G(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_{n-1} s^{(n-1)} + \dots + b_1 s^{(1)}+ b_0 }{s^{(n)} + a_{n-1} s^{(n-1)} + \dots + a_1 s^{(1)}+ a_0}G(s)=A(s)B(s)​=s