25年8月通信基础知识补充2：星座的峭度（Kurtosis）、ISAC
看文献过程中不断发现有太多不懂的基础知识，故长期更新这类blog不断补充在这过程中学到的知识。由于这些内容与我的研究方向并不一定强相关，故记录不会很深入请见谅。
【通信基础知识补充9】25年8月通信基础知识补充2：星座的峭度（Kurtosis）
- 一、星座的峭度
- 1.1 基本信号模型
- 1.2 星座的峭度（Kurtosis）
- 1.3 不同调制方式的峭度
- 1.4 三类星座的分类
- 1.4.1 Gaussian Constellation（高斯星座）
- 1.4.2 Sub-Gaussian Constellations（亚高斯星座，μ4<2\mu_4 < 2μ4<2）
- 1.4.3 Super-Gaussian Constellations（超高斯星座，μ4>2\mu_4 > 2μ4>2）
- 1.4.4 对比总结表
- 1.5 应用与意义
- 1.6 峭度和ISAC的关系
- 1.6.1 ISAC 的核心矛盾
- 1.6.2 峭度和 ISAC 的关系
- 1.5.3 举例
一、星座的峭度
1.1 基本信号模型
-
随机符号
定义符号向量：s=[s1,s2,…,sN]T∈CN×1s = [s_1, s_2, \dots, s_N]^T \in \mathbb{C}^{N \times 1} s=[s1,s2,…,sN]T∈CN×1
这里的 sis_isi 是从一个星座集合 S\mathcal{S}S 中独立同分布（i.i.d.）抽取的复数符号。
-
归一化约束
E(∣s∣2)=1,E(s)=E(s2)=0\mathbb{E}(|s|^2) = 1, \quad \mathbb{E}(s) = \mathbb{E}(s^2) = 0 E(∣s∣2)=1,E(s)=E(s2)=0
意味着平均能量归一化为 1，并且星座点对称分布在原点附近（零均值、零二阶矩）。
1.2 星座的峭度（Kurtosis）
-
定义公式
在通信里，星座峭度主要用来刻画调制符号的幅度分布特性，具体而言，峭度衡量分布的“尖锐”程度，定义如下：μ4≜E{∣s−E(s)∣4}E{∣s−E(s)∣2}2\mu_4 \triangleq \frac{\mathbb{E}\{ |s - \mathbb{E}(s)|^4 \}}{\mathbb{E}\{ |s - \mathbb{E}(s)|^2 \}^2} μ4≜E{∣s−E(s)∣2}2E{∣s−E(s)∣4}
因为 E(s)=0\mathbb{E}(s)=0E(s)=0（解释：因为PSK, QAM, APSK等调制的星座点分布关于原点对称，因此没有直流（DC）分量），所以公式简化为：
μ4=E(∣s∣4)\mu_4 = \mathbb{E}(|s|^4) μ4=E(∣s∣4)
-
物理意义
峭度体现了符号幅度分布与高斯分布的差异：- 峭度大：符号幅度分布更“尖锐”，集中在零点附近，但尾部更重。
- 峭度小：分布更平坦，符号分布相对均匀。
1.3 不同调制方式的峭度
下表给出了常见星座的数值：
- PSK：幅度恒定，峭度最低（=1），因为能量均匀分布在相位上。
- QAM：随着阶数升高，峭度逐渐增加（约在 1.3~1.4 之间），意味着幅度分布比 PSK 更接近高斯。
1.4 三类星座的分类
1.4.1 Gaussian Constellation（高斯星座）
-
定义：μ4=2\mu_4 = 2μ4=2，对应于复高斯分布 s∼CN(0,1)s \sim \mathcal{CN}(0,1)s∼CN(0,1)。
-
特性：
- 理论基准（通常不可直接实现）。
- 幅度与相位连续分布，满足圆对称。
- 在香农容量推导、互信息分析中常作为理想输入分布。
-
优势：
- 能量分布最均衡，最大化香农容量。
- 是评估各种实际调制方式（QAM、PSK、APSK 等）性能的 比较基准。
-
不足：
- 工程上难以实现，因为需要无限个星座点。
- 实际系统只能用有限阶调制去逼近。
1.4.2 Sub-Gaussian Constellations（亚高斯星座，μ4<2\mu_4 < 2μ4<2）
- 典型例子：
- PSK（恒幅，相位均匀分布，μ4=1\mu_4 = 1μ4=1）。
- QAM（16-QAM, 64-QAM, μ4≈1.3∼1.4\mu_4 \approx 1.3\sim1.4μ4≈1.3∼1.4）。
- 特性：
- 分布比高斯“平坦”，符号幅度差别小。
- 尾部轻，没有特别极端的高能量点。
- 优势：
- 功放友好：幅度变化小，峰均功率比 (PAPR) 低，非线性失真影响小。
- 实现简单：QAM/PSK 星座点规则，便于硬件调制解调。
- 广泛应用：几乎所有蜂窝通信（4G/5G）、WLAN、卫星通信（部分场景）都基于 QAM/PSK。
- 不足：
- 相比 Gaussian 输入，容量略有损失。
- QAM 高阶化后抗噪性能下降。
1.4.3 Super-Gaussian Constellations（超高斯星座，μ4>2\mu_4 > 2μ4>2）
-
典型例子：
- APSK（Amplitude and Phase Shift Keying，尤其是环间幅度差异大时）。
- Index Modulation (IM)（多数符号为零，少数符号有大能量）。
- 稀疏调制方式（Sparse Signaling）。
-
特性：
- 分布更“尖锐”，大多数符号集中在低能量区，少数符号能量特别大。
- 有重尾 (heavy-tail)，能量波动显著。
-
优势：
- 频谱效率高：通过稀疏或幅度差异扩展符号集。
- 适合卫星通信：APSK 能兼顾高频谱效率与非线性鲁棒性（DVB-S2/S2X 标准广泛采用）。
- 适合 ISAC / 稀疏场景：Index Modulation 在高维信道里稀疏映射，利于感知与通信联合。
-
不足：
- PAPR 高：对功放非线性更敏感。
- 检测复杂度高，接收端需做稀疏检测或环半径估计。
1.4.4 对比总结表
| 类别 | 峭度 μ4\mu_4μ4 | 典型星座 | 分布特性 | 工程优势 | 主要不足 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gaussian | =2=2=2 | 理想高斯输入 | 圆对称、能量最均衡 | 达到香农容量，理论基准 | 不可实现 |
| Sub-Gaussian | <2<2<2 | QAM, PSK | 平坦，幅度差小 | PAPR 低，硬件友好，广泛应用 | 容量略低 |
| Super-Gaussian | >2>2>2 | APSK, IM | 尖锐+长尾，能量波动大 | 频谱效率高，适合卫星/稀疏场景 | PAPR 高，检测复杂 |
- Gaussian → 理想基准（理论分析）。
- Sub-Gaussian → 工程主流（QAM/PSK，低 PAPR，硬件友好）。
- Super-Gaussian → 特殊场景优选（卫星 APSK，IM 稀疏通信/感知）。
1.5 应用与意义
峭度是 信号统计特性的重要指标，在以下方面有应用：
- 信道建模与容量分析：非高斯输入分布会影响互信息和误码率性能。
- 信号检测与盲估计：高阶统计量（如峭度）常用于调制识别、盲均衡等。
- ISAC（感知通信一体化）：峭度影响旁瓣水平与干扰特性。
- 非线性效应分析：星座的幅度分布与光纤/功放的非线性响应紧密相关。
1.6 峭度和ISAC的关系
1.6.1 ISAC 的核心矛盾
在 ISAC 里，一个波形既要用于 通信，又要用于 感知（雷达探测/成像）。
- 通信需求：高频谱效率、低误码率 → 常用 QAM、PSK。
- 感知需求：低旁瓣、良好的模糊函数特性（时延-多普勒域分辨率高）。
1.6.2 峭度和 ISAC 的关系
星座峭度影响 波形的功率分布，而功率分布会进一步影响 通信-感知性能权衡：
-
旁瓣水平（sidelobe level）
- 峭度小（PSK, Sub-Gaussian）→ 符号幅度均匀，能量分布平稳，平均旁瓣水平较低。
- 峭度大（APSK, Super-Gaussian）→ 能量分布不均匀，可能导致旁瓣增强。
感知性能（比如目标检测、测距精度）和峭度强相关。
-
抗非线性与功放效率
- ISAC 系统常用高功率放大器（如卫星、车载雷达），波形的峰均功率比（PAPR）越大越容易失真。
- 峭度和 PAPR 正相关 → 峭度大，功放效率低。
峭度小的调制方式在 ISAC 系统里更容易保持波形一致性。
-
调制方式选择
- 通信喜欢高阶 QAM（吞吐量高），但峭度较大。
- 感知更喜欢幅度均匀的 PSK（旁瓣低）。
峭度提供了一个 量化指标，用来评估星座是否适合 ISAC。
1.5.3 举例
- QPSK (峭度=1)：能量分布均匀 → 感知性能好（旁瓣低），但通信速率低。
- 64-QAM (峭度≈1.36)：吞吐量高，但幅度差别大 → 功放非线性、旁瓣增加，感知性能下降。
- APSK (峭度>2)：有时用于卫星通信，峰度大，感知旁瓣更差。
总结： 在 ISAC 中，星座的峭度是一个桥梁指标，它刻画调制星座的能量分布特性，直接影响通信的非线性鲁棒性和感知的旁瓣性能，从而帮助设计和选择更适合 ISAC 的波形。
