闭区间是否存在一个开区间包含之

设 I 为闭区间。对于任给的 $ϵ>0$ ，是否存在开区间 I’ ，使得：

1. $ I \subseteq I’ $（即开区间 I’ 包含闭区间 I ）；
2. $I\le I^{\prime }<I+ϵ$ （即开区间 I’ 的长度严格大于闭区间 I 的长度，但不超过 I+ $ϵ$）。

问：这样的开区间 I’ 是否总是存在？

首先，明确几个基本概念：

1. 闭区间 I ：通常表示为 I = [a, b] ，其中 a $\le$ b 。其长度为 I
   = b - a 。
2. 开区间 I’ ：通常表示为 ( I’ = (c, d) )，其中 c < d 。其长度为 I’
   = d - c 。
3. 包含关系 I $\subseteq$ I’ ：即 ( [a, b] $\subseteq$ (c, d) )，意味着 c < a 且 b < d 。

我们需要证明或反驳：对于任意闭区间 I = [a, b] 和任意 \epsilon > 0 ，存在开区间 ( I’ = (c, d) ) 满足：

1. ( [a, b] \subseteq (c, d) )；
2. ( b - a \leq d - c < (b - a) + \epsilon )。

构造性证明

步骤 1：构造包含 I 的开区间

为了确保 ( [a, b] \subseteq (c, d) )，我们需要：
• c < a （因为 a 是 I 的左端点，必须包含在 I’ 内）；

• d > b （因为 b 是 I 的右端点，必须包含在 I’ 内）。

因此，可以设：
[ c = a - \delta_1, \quad d = b + \delta_2 ]
其中 \delta_1, \delta_2 > 0 。这样：
[ I’ = (a - \delta_1, b + \delta_2) ]
显然满足 ( [a, b] \subseteq (a - \delta_1, b + \delta_2) )。

步骤 2：控制开区间 I’ 的长度

开区间 I’ 的长度为：
[ I’ = (b + \delta_2) - (a - \delta_1) = (b - a) + \delta_1 + \delta_2 = I

• \delta_1 + \delta_2 ]

我们需要满足：
[ I \leq I’ < I

• \epsilon ]
  即：
  [ I \leq I + \delta_1 + \delta_2 < I
• \epsilon ]
  这简化为：
  [ 0 \leq \delta_1 + \delta_2 < \epsilon ]

因为 \delta_1, \delta_2 > 0 ，所以 \delta_1 + \delta_2 > 0 自动满足。我们需要选择 \delta_1 和 \delta_2 使得：
[ \delta_1 + \delta_2 < \epsilon ]

步骤 3：选择合适的 \delta_1 和 \delta_2

为了满足 \delta_1 + \delta_2 < \epsilon ，可以选择：
• \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} ， \delta_2 = \frac{\epsilon}{2} （或其他分配方式，只要和小于 \epsilon ）。

这样：
[ \delta_1 + \delta_2 = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon ]
但我们需要严格小于 \epsilon ，因此可以调整：
• \delta_1 = \frac{\epsilon}{3} ， \delta_2 = \frac{\epsilon}{3} ，则 \delta_1 + \delta_2 = \frac{2\epsilon}{3} < \epsilon ；

• 或者更一般地，选择 \delta_1 = \frac{\epsilon}{4} ， \delta_2 = \frac{\epsilon}{4} ，则 \delta_1 + \delta_2 = \frac{\epsilon}{2} < \epsilon 。

具体构造：
选择 \delta_1 = \delta_2 = \frac{\epsilon}{4} ，则：
[ I’ = \left(a - \frac{\epsilon}{4}, b + \frac{\epsilon}{4}\right) ]
其长度为：
[ I’ = (b + \frac{\epsilon}{4}) - (a - \frac{\epsilon}{4}) = b - a + \frac{\epsilon}{2} = I

• \frac{\epsilon}{2} ]
  因为 \frac{\epsilon}{2} > 0 ，所以 I’ > I
  ；
  同时 \frac{\epsilon}{2} < \epsilon （因为 \epsilon > 0 ），所以 I’ < I
• \epsilon 。

因此：
[ I < I’ < I

• \epsilon ]
  （注意：原问题写的是 I \leq I’ ，而实际上 I’ 严格大于 I
  ，因为 \delta_1, \delta_2 > 0 ）

验证

对于任意 \epsilon > 0 ，我们可以选择：
[ I’ = \left(a - \frac{\epsilon}{4}, b + \frac{\epsilon}{4}\right) ]
则：

1. ( [a, b] \subseteq (a - \frac{\epsilon}{4}, b + \frac{\epsilon}{4}) )（因为 a - \frac{\epsilon}{4} < a 且 b < b + \frac{\epsilon}{4} ）；
2. I’ = b - a + \frac{\epsilon}{2} = I

• \frac{\epsilon}{2} ；
  • 因为 \frac{\epsilon}{2} > 0 ，所以 I’ > I
  ；

  • 因为 \frac{\epsilon}{2} < \epsilon ，所以 I’ < I

• \epsilon 。

因此：
[ I < I’ < I

• \epsilon ]
  （满足 I \leq I’ 和 I’ < I
• \epsilon ）

更一般的构造

实际上，可以更灵活地选择 \delta_1 和 \delta_2 ：
• 只要 \delta_1 + \delta_2 < \epsilon ，且 \delta_1, \delta_2 > 0 ，就可以构造：

[ I’ = (a - \delta_1, b + \delta_2) ]
其长度为：
[ I’ = I

• \delta_1 + \delta_2 ]
  满足：
  [ I < I’ < I
• \epsilon ]

结论

结论成立。 对于任意闭区间 I = [a, b] 和任意 \epsilon > 0 ，存在开区间 ( I’ = (a - \delta_1, b + \delta_2) )（其中 \delta_1, \delta_2 > 0 且 \delta_1 + \delta_2 < \epsilon ），使得：

1. I \subseteq I’ ；
2. I \leq I’ < I + \epsilon （实际上 I’ > I 且 I’ < I

• \epsilon ）。

补充说明

• 如果允许 \delta_1 或 \delta_2 为 0（即开区间可以退化为半开区间），则 I’ 可以等于 I ，但题目中 I’ 是开区间，因此必须 \delta_1, \delta_2 > 0 ，从而 I’ > I
。

• 原问题中的 I \leq I’ 实际上是严格的 I’ > I
，因为开区间必须严格包含闭区间的端点。

• 通过适当选择 \delta_1 和 \delta_2 ，可以确保 I’ 任意接近 I （即 I’ 可以无限接近于 I ，但严格大于 I
）。