【优选算法】DC-Mergesort-Harmonies：分治-归并的算法之谐

本篇是优选算法之分治-归并，简单来说就是一个不断分组排序再合并的过程

1.概念解析

🚩什么是分治-归并？

分治归并（基于分治思想的归并排序）是分治算法（Divide and Conquer）在排序问题中的经典应用，核心是通过 “拆分 - 排序 - 合并” 三步，将无序数组转化为有序数组，本质是 “化繁为简、再合简为繁” 的解题思路

2.排序数组

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门：排序数组

题解:

本质上分治归并就是一个后序遍历，而快排就是一个前序遍历，不断向下细分数组，然后从下往上把左右两分支的数组排序并合并，以此向上循环往复

💻细节问题：

• int mid = left + ((right - left) >> 1) 相当于 int mid = left + ((right - left) / 2)，二进制的算法效率更高，且该计算中间值的方法能避免整数溢出

• 最后一步合并数组，nums[left + j] = tmp[j] 而不是 nums[j] = tmp[j]，是因为 left 不一定是 0，即不一定是对原来的整个数组进行排序，可能只对数组一部分进行排序

• 数组排序并不影响逆序对的计算，因为是左右两部分比较，内部已经在递归过程中计算过了

💻代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class Solution 
{vector<int> tmp;
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {tmp.resize(nums.size());mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right){if (left >= right){return;}int mid = left + ((right - left) >> 1);mergeSort(nums, left, mid);mergeSort(nums, mid + 1, right);int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while (cur1 <= mid && cur2 <= right){tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur1++] : nums[cur2++];}while (cur1 <= mid){tmp[i++] = nums[cur1++];}while (cur2 <= right){tmp[i++] = nums[cur2++];}for (int j = 0; j <= right - left; ++j){nums[left + j] = tmp[j];}}
};

3.交易逆序对的总数

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门： 交易逆序对的总数

题解:

因为归并排序的 “分治 + 有序合并” 特性，完美匹配逆序对统计的核心需求 —— 高效拆分问题、批量计算逆序对，这是暴力枚举做不到的，当 [left,mid] 和 [mid+1,right] 进行互相比较时，如果是升序，获取到 record[cur1] >= record[cur2] 时，由于是有序，所以 cur2 往后都是小于 cur1 对应的数的，所以能直接得到很多对逆序数。用降序也是同理

💻代码实现：

class Solution
{vector<int> tmp;
public:int reversePairs(vector<int>& record) {tmp.resize(50010);return mergeSort(record, 0, record.size() - 1);}int mergeSort(vector<int> &record, int left, int right){if(left >= right){return 0;}int ret = 0;int mid = left + ((right - left) >> 1);ret += mergeSort(record, left, mid);ret += mergeSort(record, mid + 1, right);int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while(cur1 <= mid && cur2 <= right){if(record[cur1] <= record[cur2]){tmp[i++] = record[cur1++];}else{ret += mid - cur1 + 1;tmp[i++] = record[cur2++];}}while(cur1 <= mid){tmp[i++] = record[cur1++];}while(cur2 <= right){tmp[i++] = record[cur2++];}for(int j = 0; j < right - left + 1; ++j){record[j + left] = tmp[j];}return ret;}
};

4.计算右侧小于当前元素的个数

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门： 计算右侧小于当前元素的个数

题解:

这题和上一题思路基本一致，唯一的难点就是要额外创建一个数组进行值和下表的绑定，因为题目要求的是返回每个 index 对应的值，有人就问了为什么不能用哈希表，可以是可以但是有重复值的话会很麻烦，因此额外创建一个数组进行 index 和值的绑定更方便，index 数组跟着 nums 数组移动就行

💻代码实现：

class Solution 
{vector<int> ret;vector<int> index;int tmpNums[500010];int tmpindex[500010];public:vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {int n = nums.size();ret.resize(n, 0);index.resize(n);for(int i = 0; i < n; ++i){index[i] = i;}mergeSort(nums, 0, n - 1);return ret;}void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right){if(left >= right){return;}int mid = left + ((right - left) >> 1);mergeSort(nums, left, mid);mergeSort(nums, mid + 1, right);int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while(cur1 <= mid && cur2 <= right){if(nums[cur1] <= nums[cur2]){tmpNums[i] = nums[cur2];tmpindex[i++] = index[cur2++]; }else{ret[index[cur1]] += right - cur2 + 1;tmpNums[i] = nums[cur1];tmpindex[i++] = index[cur1++]; }}while(cur1 <= mid){tmpNums[i] = nums[cur1];tmpindex[i++] = index[cur1++]; }while(cur2 <= right){tmpNums[i] = nums[cur2];tmpindex[i++] = index[cur2++]; }for(int j = 0; j < right - left + 1; ++j){nums[j + left] = tmpNums[j];index[j + left] = tmpindex[j];}}
};

5.翻转对

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门： 翻转对

题解:

思路还是利用归并解决，但是要提前计算符合题目要求的翻转对，如果在排序过程中进行计算，会漏掉部分翻转对

💻细节问题：

(long long)nums[cur1] <= 2 * (long long)nums[cur2] 防止溢出

💻代码实现：

class Solution 
{vector<int> tmp;int ret = 0;public:int reversePairs(vector<int>& nums) {tmp.resize(nums.size());mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);return ret;}void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {if (left >= right) {return;}int mid = left + ((right - left) >> 1);mergeSort(nums, left, mid);zqmergeSort(nums, mid + 1, right);int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;while (cur2 <= right){while (cur1 <= mid && (long long)nums[cur1] <= 2 * (long long)nums[cur2]){cur1++;}if (cur1 > mid){break;}ret += mid - cur1 + 1;cur2++;}cur1 = left, cur2 = mid + 1;while (cur1 <= mid && cur2 <= right) {if (nums[cur1] <= nums[cur2]) {tmp[i++] = nums[cur1++];} else {tmp[i++] = nums[cur2++];}}while (cur1 <= mid) {tmp[i++] = nums[cur1++];}while (cur2 <= right) {tmp[i++] = nums[cur2++];}for (int j = 0; j < right - left + 1; ++j) {nums[j + left] = tmp[j];}}
};

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