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算法高频题-动态规划

news 2025/9/21 8:17:12

刷题：LeetCode（Top 100-150题，至少刷两遍）。重点：链表、树、二分查找、动态规划、回溯、栈/队列。
每一个题型，前10个高频题

算法思考框架参考：算法题思维框架-CSDN博客

高频顺序参考网站：CodeTop 面试题目总结

1.53. 最大子数组和

这道题是动态规划的经典问题，主要有三种方法：

Kadane算法（动态规划）：最优解，O(n)时间复杂度
分治法：O(n log n)时间复杂度
暴力法：O(n²)时间复杂度（不推荐）

方法一：Kadane算法（动态规划）

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {if (nums.empty()) return 0;int maxSum = nums[0];    // 全局最大和int currentSum = nums[0]; // 当前子数组和for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {// 对于每个元素，选择：要么加入当前子数组，要么重新开始currentSum = max(nums[i], currentSum + nums[i]);// 更新全局最大和maxSum = max(maxSum, currentSum);}return maxSum;}
};

方法二：分治法

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {return divideAndConquer(nums, 0, nums.size() - 1);}private:int divideAndConquer(vector<int>& nums, int left, int right) {if (left == right) return nums[left];int mid = left + (right - left) / 2;// 分别求左右两边的最大子数组和int leftMax = divideAndConquer(nums, left, mid);int rightMax = divideAndConquer(nums, mid + 1, right);// 求跨越中点的最大子数组和int crossMax = maxCrossingSum(nums, left, mid, right);return max({leftMax, rightMax, crossMax});}int maxCrossingSum(vector<int>& nums, int left, int mid, int right) {// 从中点向左的最大和int leftSum = INT_MIN;int sum = 0;for (int i = mid; i >= left; i--) {sum += nums[i];leftSum = max(leftSum, sum);}// 从中点向右的最大和int rightSum = INT_MIN;sum = 0;for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += nums[i];rightSum = max(rightSum, sum);}return leftSum + rightSum;}
};

方法三：动态规划（显式DP数组）

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {if (nums.empty()) return 0;int n = nums.size();vector<int> dp(n); // dp[i]表示以nums[i]结尾的最大子数组和dp[0] = nums[0];int maxSum = dp[0];for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);maxSum = max(maxSum, dp[i]);}return maxSum;}
};

时间复杂度：
- Kadane算法：O(n)
- 分治法：O(n log n)
- 暴力法：O(n²)
空间复杂度：
- Kadane算法：O(1)
- 分治法：O(log n)（递归栈）
- 显式DP：O(n)

"为什么Kadane算法有效？"
- 基于贪心思想：如果当前子数组和为负数，它对后续子数组没有贡献
- 可以重新开始计算子数组和

"如何修改算法来返回最大子数组的起止位置？"

class Solution {
public:vector<int> maxSubArrayWithIndices(vector<int>& nums) {if (nums.empty()) return {0, 0, 0};int maxSum = nums[0];int currentSum = nums[0];int start = 0, end = 0;int tempStart = 0;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {if (nums[i] > currentSum + nums[i]) {currentSum = nums[i];tempStart = i;} else {currentSum += nums[i];}if (currentSum > maxSum) {maxSum = currentSum;start = tempStart;end = i;}}return {maxSum, start, end};}
};