[数理逻辑] 决定性公理与勒贝格可测性 (III) 有限维情况
决定性公理与勒贝格可测性 (I) 基础知识
决定性公理与勒贝格可测性 (II) 一维情况
决定性公理与勒贝格可测性 (III) 有限维情况
文章目录
- 附录 A (Appendix A): 多维情形的下界
- 附录 B (Appendix B): 多维情形的上界
附录 A (Appendix A): 多维情形的下界
引理 A.1. 如果玩家 I 在（多维）博弈 Gv,XG_{v,X}Gv,X 中有一个必胜策略 σ\sigmaσ，那么 μ∗(g~(X))≥v\mu_*(\tilde{g}(X)) \ge vμ∗(g~(X))≥v。
假设玩家 I 有一个必胜策略 σ\sigmaσ。对于 α∈ω∪{ω}\alpha \in \omega \cup \{\omega\}α∈ω∪{ω}，我们定义：
Aα:={x∈α(m2):σ∗x是合法的}.A_\alpha := \{ x \in {}^\alpha ({}^m 2) : \sigma * x \text{ 是合法的} \}. Aα:={x∈α(m2):σ∗x 是合法的}.
对于 n∈ωn \in \omegan∈ω，我们额外定义：
Cn:={x∈ω(m2):x∣n∈An}=⨆p∈An{x∈ω(m2):x∣n=p}.C_n := \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : x|_n \in A_n \} = \bigsqcup_{p \in A_n} \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : x|_n = p \}. Cn:={x∈ω(m2):x∣n∈An}=p∈An⨆{x∈ω(m2):x∣n=p}.
类似于引理 2.1，我们得到 g~(Cn)\tilde{g}(C_n)g~(Cn) 是 ∣An∣|A_n|∣An∣ 个测度为 (2−n)m(2^{-n})^m(2−n)m 的多维区间的并集，这些区间两两相交于某个零测集。因此 g~(Cn)\tilde{g}(C_n)g~(Cn) 是可测的，且 μ(g~(Cn))=∣An∣2−mn\mu(\tilde{g}(C_n)) = |A_n| 2^{-mn}μ(g~(Cn))=∣An∣2−mn。
根据定义，对所有 n∈ωn \in \omegan∈ω 有 Cn⊇Cn+1C_n \supseteq C_{n+1}Cn⊇Cn+1，并且进一步有：
Aω={x∈ω(m2):∀n∈ω:σ∗x∣n是合法的}=⋂n∈ωCn.A_\omega = \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : \forall n \in \omega : \sigma * x|_n \text{ 是合法的} \} = \bigcap_{n \in \omega} C_n. Aω={x∈ω(m2):∀n∈ω:σ∗x∣n 是合法的}=n∈ω⋂Cn.
根据推论 2.3 的修改版本，我们得出结论：g~(Aω)=⋂n∈ωg~(Xn)\tilde{g}(A_\omega) = \bigcap_{n \in \omega} \tilde{g}(X_n)g~(Aω)=⋂n∈ωg~(Xn) 是可测的，且：
μ(g~(Aω))=limn→∞μ(g~(Cn))=limn→∞∣An∣2−mn.(9)\mu(\tilde{g}(A_\omega)) = \lim_{n \to \infty} \mu(\tilde{g}(C_n)) = \lim_{n \to \infty} |A_n| 2^{-mn}. \tag{9} μ(g~(Aω))=n→∞limμ(g~(Cn))=n→∞lim∣An∣2−mn.(9)
由于 σ\sigmaσ 是必胜策略，有 Aω⊆XA_\omega \subseteq XAω⊆X，因此 g~(Aω)⊆g~(X)\tilde{g}(A_\omega) \subseteq \tilde{g}(X)g~(Aω)⊆g~(X)。根据事实 1.4，我们得出结论：
limn→∞∣An∣2−mn=μ(g~(Aω))≤μ∗(g~(X)).(9)\lim_{n \to \infty} |A_n| 2^{-mn} = \mu(\tilde{g}(A_\omega)) \le \mu_*(\tilde{g}(X)). \tag{9} n→∞lim∣An∣2−mn=μ(g~(Aω))≤μ∗(g~(X)).(9)
剩下要证明 v≤limn→∞∣An∣2−mnv \le \lim_{n \to \infty} |A_n| 2^{-mn}v≤limn→∞∣An∣2−mn。为了实现这一点，我们研究以下函数：
f:⋃n∈ωn(m2)→[0,1],p↦{vσ∗p如果 p∈⋃n∈ωAn,0否则.f: \bigcup_{n \in \omega} {}^n ({}^m 2) \to [0,1], \quad p \mapsto \begin{cases} v_{\sigma * p} & \text{如果 } p \in \bigcup_{n \in \omega} A_n, \\ 0 & \text{否则}. \end{cases} f:n∈ω⋃n(m2)→[0,1],p↦{vσ∗p0如果 p∈⋃n∈ωAn,否则.
断言： 对所有 n∈ωn \in \omegan∈ω 有 2−mn∑p∈n(m2)f(p)≥v2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} f(p) \ge v2−mn∑p∈n(m2)f(p)≥v。
断言的证明： 我们对 nnn 进行归纳来证明这个陈述。当 n=0n = 0n=0 时，该断言成立，因为唯一的长度的为 0 的序列是合法的，fff 将其映射到 vvv。因此：
2−0∑p∈0(m2)f(p)=v.2^{-0} \sum_{p \in {}^0 ({}^m 2)} f(p) = v. 2−0p∈0(m2)∑f(p)=v.
现在假设该断言对某个 n∈ωn \in \omegan∈ω 成立。首先考虑任意 p∈Anp \in A_np∈An。对于满足 p⌢⟨q⟩∈An+1p^\frown \langle q \rangle \in A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈An+1 的 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2，根据定义有：
f(p⌢⟨q⟩)=vσ∗(p⌢⟨q⟩)=hσ∗p(q).f(p^\frown \langle q \rangle) = v_{\sigma * (p^\frown \langle q \rangle)} = h_{\sigma * p}(q). f(p⌢⟨q⟩)=vσ∗(p⌢⟨q⟩)=hσ∗p(q).
相反，对于满足 p⌢⟨q⟩∉An+1p^\frown \langle q \rangle \notin A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈/An+1 的 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2，玩家 II 在用 qqq 扩展 σ∗p\sigma * pσ∗p 时违反了规则 (b)，因此：
f(p⌢⟨q⟩)=0=hσ∗p(q).f(p^\frown \langle q \rangle) = 0 = h_{\sigma * p}(q). f(p⌢⟨q⟩)=0=hσ∗p(q).
根据规则 (a)，我们得出结论：对所有 p∈Anp \in A_np∈An：
2−m∑q∈m2f(p⌢⟨q⟩)=2−m∑q∈m2hσ∗p(q)≥vσ∗p=f(p).2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f(p^\frown \langle q \rangle) = 2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} h_{\sigma * p}(q) \ge v_{\sigma * p} = f(p). 2−mq∈m2∑f(p⌢⟨q⟩)=2−mq∈m2∑hσ∗p(q)≥vσ∗p=f(p).
另一方面，对所有 p∈n(m2)∖Anp \in {}^n ({}^m 2) \setminus A_np∈n(m2)∖An，我们有对所有 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2 有 p⌢⟨q⟩∉An+1p^\frown \langle q \rangle \notin A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈/An+1，因此：
2−m∑q∈m2f(p⌢⟨q⟩)=0≥0=f(p).2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f(p^\frown \langle q \rangle) = 0 \ge 0 = f(p). 2−mq∈m2∑f(p⌢⟨q⟩)=0≥0=f(p).
因此，根据归纳假设以及 n+1(m2)=⨆q∈m2{p⌢⟨q⟩:p∈n(m2)}{}^{n+1} ({}^m 2) = \bigsqcup_{q \in {}^m 2} \{ p^\frown \langle q \rangle : p \in {}^n ({}^m 2) \}n+1(m2)=⨆q∈m2{p⌢⟨q⟩:p∈n(m2)} 这一事实，我们得出结论：
2−m(n+1)∑p∈n+1(m2)f(p)=2−mn∑p∈n(m2)2−m∑q∈m2f(p⌢⟨q⟩)≥2−mn∑p∈n(m2)f(p)≥v.⊣断言\begin{aligned} 2^{-m(n+1)} \sum_{p \in {}^{n+1} ({}^m 2)} f(p) &= 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} 2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f(p^\frown \langle q \rangle) \\ &\ge 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} f(p) \ge v. \quad \dashv \text{断言} \end{aligned} 2−m(n+1)p∈n+1(m2)∑f(p)=2−mnp∈n(m2)∑2−mq∈m2∑f(p⌢⟨q⟩)≥2−mnp∈n(m2)∑f(p)≥v.⊣断言
固定某个任意的 n∈ωn \in \omegan∈ω。利用 f(p)=0f(p) = 0f(p)=0（如果 p∉Anp \notin A_np∈/An）且对所有 p∈n(m2)p \in {}^n ({}^m 2)p∈n(m2) 有 f(p)≤1f(p) \le 1f(p)≤1 这一事实，我们从断言推导出：
v≤2−mn∑p∈n(m2)f(p)=2−mn∑p∈Anf(p)≤2−mn∑p∈An1=∣An∣2−mn.v \le 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} f(p) = 2^{-mn} \sum_{p \in A_n} f(p) \le 2^{-mn} \sum_{p \in A_n} 1 = |A_n| 2^{-mn}. v≤2−mnp∈n(m2)∑f(p)=2−mnp∈An∑f(p)≤2−mnp∈An∑1=∣An∣2−mn.
取极限 n→∞n \to \inftyn→∞，我们由等式 (9) 得出结论：
v≤limn→∞∣An∣2−mn≤μ∗(g~(X)).□v \le \lim_{n \to \infty} |A_n| 2^{-mn} \le \mu_*(\tilde{g}(X)). \quad \square v≤n→∞lim∣An∣2−mn≤μ∗(g~(X)).□
附录 B (Appendix B): 多维情形的上界
引理 B.1. 如果玩家 II 在（多维）博弈 Gv,XG_{v,X}Gv,X 中有一个必胜策略 τ\tauτ，那么 μ∗(g~(X))≤v\mu^*(\tilde{g}(X)) \leq vμ∗(g~(X))≤v。
证明:
假设玩家 II 有一个必胜策略 τ\tauτ，并固定一个任意的 δ>0\delta > 0δ>0。
我们将递归地构造集合 An⊆n(m2)A_n \subseteq {}^n ({}^m 2)An⊆n(m2)，这些集合由玩家 II 使用策略 τ\tauτ 的移动序列组成，以及函数：
ψn:An→{z∣2n:z是 Gv,X的一局与 τ一致的对弈},\psi_n: A_n \to \{ z|_{2n} : z \text{ 是 } G_{v,X} \text{ 的一局与 } \tau \text{ 一致的对弈} \}, ψn:An→{z∣2n:z 是 Gv,X 的一局与 τ 一致的对弈},
这些函数用玩家 I 的移动来补全这些序列。对于 n∈ωn \in \omegan∈ω 和 p∈n(m2)p \in {}^n ({}^m 2)p∈n(m2)，函数 ψn\psi_nψn 应该为玩家 I 选择移动，这些移动对玩家 I 而言几乎是最优的，意味着 ψn(p)\psi_n(p)ψn(p) 几乎最小化了 vψn(p)v_{\psi_n(p)}vψn(p)，在所有与 τ\tauτ 一致的合法序列中（其中玩家 II 做出了移动 ppp）。如果 vψn(p)=1v_{\psi_n(p)} = 1vψn(p)=1 或者不存在与 τ\tauτ 一致的合法 ψn(p)\psi_n(p)ψn(p)，我们将把 ppp 排除在 AnA_nAn 之外，甚至不定义 ψn(p)\psi_n(p)ψn(p)。
定义 A0:=0(m2)A_0 := {}^0 ({}^m 2)A0:=0(m2)，并令 ψ0\psi_0ψ0 为 A0A_0A0 上的恒等映射。
现在假设 AnA_nAn 和 ψn\psi_nψn 已经对某个 n∈ωn \in \omegan∈ω 构造好了。固定 p∈Anp \in A_np∈An 和 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2。我们用玩家 I 的一步移动 aqpa^p_qaqp 和玩家 II 的一步移动 qqq 来扩展 ψn(p)\psi_n(p)ψn(p)，使得 ψn(p)⌢⟨aqp,q⟩\psi_n(p)^\frown \langle a^p_q, q \rangleψn(p)⌢⟨aqp,q⟩ 满足前面讨论的 $\psi_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) 的标准。因此我们定义：
Sqp:={h∈(m2)(Q∩[0,1]):ψn(p)⌢⟨h⟩是合法的且 τ(ψn(p)⌢⟨h⟩)=q},S^p_q := \{ h \in {}^{({}^m 2)} (\mathbb{Q} \cap [0,1]) : \psi_n(p)^\frown \langle h \rangle \text{ 是合法的且 } \tau(\psi_n(p)^\frown \langle h \rangle) = q \}, Sqp:={h∈(m2)(Q∩[0,1]):ψn(p)⌢⟨h⟩ 是合法的且 τ(ψn(p)⌢⟨h⟩)=q},
这是玩家 I 的所有合法移动的集合，使得当玩家 II 使用 τ\tauτ 游戏时，下一步选择 qqq。玩家 I 的下一步移动 aqpa^p_qaqp 应该从 SqpS^p_qSqp 中选择，使得 vψn(p)⌢⟨aqp,q⟩v_{\psi_n(p)^\frown \langle a^p_q, q \rangle}vψn(p)⌢⟨aqp,q⟩ 几乎被最小化。这引出了函数：
up:m2→[0,1],r↦inf({h(r):h∈Srp}∪{1}).u_p: {}^m 2 \to [0,1], \quad r \mapsto \inf \left( \{ h(r) : h \in S^p_r \} \cup \{1\} \right). up:m2→[0,1],r↦inf({h(r):h∈Srp}∪{1}).
注意 up(q)=1u_p(q) = 1up(q)=1 意味着如果玩家 II 使用策略 τ\tauτ，他们要么永远不会用 qqq 继续一个合法序列 ψn(p)⌢⟨h⟩\psi_n(p)^\frown \langle h \rangleψn(p)⌢⟨h⟩，要么只在 h(q)=1h(q) = 1h(q)=1 时才这样做。因此我们设：
An+1:={p⌢⟨r⟩:r∈m2且 up(r)≠1}.A_{n+1} := \{ p^\frown \langle r \rangle : r \in {}^m 2 \text{ 且 } u_p(r) \ne 1 \}. An+1:={p⌢⟨r⟩:r∈m2 且 up(r)=1}.
如果 p⌢⟨q⟩∈An+1p^\frown \langle q \rangle \in A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈An+1，我们选择某个 aqp∈Sqpa^p_q \in S^p_qaqp∈Sqp 满足 aqp(q)≤up(q)+2−m(n+1)δa^p_q(q) \le u_p(q) + 2^{-m(n+1)} \deltaaqp(q)≤up(q)+2−m(n+1)δ 作为玩家 I 的下一步移动。这可以在没有选择公理的情况下完成，因为 (m2)Q{}^{({}^m 2)} \mathbb{Q}(m2)Q 是可数的。最后，我们定义：
ψn+1(p⌢⟨q⟩)=ψn(p)⌢⟨aqp,q⟩,\psi_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) = \psi_n(p)^\frown \langle a^p_q, q \rangle, ψn+1(p⌢⟨q⟩)=ψn(p)⌢⟨aqp,q⟩,
这满足了前面讨论的 ψn+1\psi_{n+1}ψn+1 的标准。
考虑集合：
Aω:={x∈ω(m2):∀n∈ω:x∣n∈An}.A_\omega := \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : \forall n \in \omega : x|_n \in A_n \}. Aω:={x∈ω(m2):∀n∈ω:x∣n∈An}.
注意，对于每个 x∈Aωx \in A_\omegax∈Aω，我们找到 Gv,XG_{v,X}Gv,X 的一局对弈 zzz，使得对所有 n∈ωn \in \omegan∈ω 有 z∣2n=ψn(x)z|_{2n} = \psi_n(x)z∣2n=ψn(x)。这个 zzz 显然与必胜策略 τ\tauτ 一致，因此 x∉Xx \notin Xx∈/X。所以，我们得出结论 Aω⊆ω(m2)∖XA_\omega \subseteq {}^\omega ({}^m 2) \setminus XAω⊆ω(m2)∖X，或者等价地 X⊆ω(m2)∖AωX \subseteq {}^\omega ({}^m 2) \setminus A_\omegaX⊆ω(m2)∖Aω。
对于 α∈ω∪{ω}\alpha \in \omega \cup \{\omega\}α∈ω∪{ω}，考虑初始片段不在 AαA_\alphaAα 中的无限 m2{}^m 2m2 序列的集合 DαD_\alphaDα：
Dα:={x∈ω(m2):x∣α∉Aα}=⨆p∈α(m2)∖Aα{x∈ω(m2):x∣α=p}.D_\alpha := \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : x|_\alpha \notin A_\alpha \} = \bigsqcup_{p \in {}^\alpha ({}^m 2) \setminus A_\alpha} \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : x|_\alpha = p \}. Dα:={x∈ω(m2):x∣α∈/Aα}=p∈α(m2)∖Aα⨆{x∈ω(m2):x∣α=p}.
类似于引理 2.1，我们得到 g~(Dn)\tilde{g}(D_n)g~(Dn) 是 2mn−∣An∣2^{mn} - |A_n|2mn−∣An∣ 个测度为 (2−n)m(2^{-n})^m(2−n)m 的多维区间的并集，这些区间两两相交于某个零测集。因此 g~(Dn)\tilde{g}(D_n)g~(Dn) 是可测的，且：
μ(g~(Dn))=(2mn−∣An∣)⋅2−mn=1−∣An∣2−mn.\mu(\tilde{g}(D_n)) = (2^{mn} - |A_n|) \cdot 2^{-mn} = 1 - |A_n| 2^{-mn}. μ(g~(Dn))=(2mn−∣An∣)⋅2−mn=1−∣An∣2−mn.
注意，根据构造，D0⊆D1⊆D2⊆…D_0 \subseteq D_1 \subseteq D_2 \subseteq \ldotsD0⊆D1⊆D2⊆…，并且进一步有：
X⊆ω(m2)∖Aω=Dω={x∈ω(m2):∃n∈ω:x∉An}=⋃n∈ωDn.X \subseteq {}^\omega ({}^m 2) \setminus A_\omega = D_\omega = \{ x \in {}^\omega ({}^m 2) : \exists n \in \omega : x \notin A_n \} = \bigcup_{n \in \omega} D_n. X⊆ω(m2)∖Aω=Dω={x∈ω(m2):∃n∈ω:x∈/An}=n∈ω⋃Dn.
因此 g~(Dω)=g~(⋃n∈ωDn)=⋃n∈ωg~(Dn)\tilde{g}(D_\omega) = \tilde{g}\left( \bigcup_{n \in \omega} D_n \right) = \bigcup_{n \in \omega} \tilde{g}(D_n)g~(Dω)=g~(⋃n∈ωDn)=⋃n∈ωg~(Dn)，并且根据事实 1.5 的修改版本，我们得到 g~(Dω)\tilde{g}(D_\omega)g~(Dω) 是可测的，且：
μ(g~(Dω))=limn→∞μ(g~(Dn))=limn→∞(1−∣An∣2−mn).(10)\mu(\tilde{g}(D_\omega)) = \lim_{n \to \infty} \mu(\tilde{g}(D_n)) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - |A_n| 2^{-mn} \right). \tag{10} μ(g~(Dω))=n→∞limμ(g~(Dn))=n→∞lim(1−∣An∣2−mn).(10)
利用事实 1.4 的修改版本，我们从 g~(X)⊆g~(Dω)\tilde{g}(X) \subseteq \tilde{g}(D_\omega)g~(X)⊆g~(Dω) 推导出：
μ∗(g~(X))≤μ(g~(Dω))=limn→∞(1−∣An∣2−mn).(10)\mu^*(\tilde{g}(X)) \le \mu(\tilde{g}(D_\omega)) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - |A_n| 2^{-mn} \right). \tag{10} μ∗(g~(X))≤μ(g~(Dω))=n→∞lim(1−∣An∣2−mn).(10)
为了估计这个极限，我们研究以下函数（对于 n∈ωn \in \omegan∈ω）：
fn:n(m2)→[0,1],p↦{vψn(p)如果 p∈An,1否则.f_n: {}^n ({}^m 2) \to [0,1], \quad p \mapsto \begin{cases} v_{\psi_n(p)} & \text{如果 } p \in A_n, \\ 1 & \text{否则}. \end{cases} fn:n(m2)→[0,1],p↦{vψn(p)1如果 p∈An,否则.
断言 1： 对所有 n∈ωn \in \omegan∈ω 和 p∈Anp \in A_np∈An 有 2−m∑q∈m2up(q)≤vψn(p)2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} u_p(q) \le v_{\psi_n(p)}2−m∑q∈m2up(q)≤vψn(p)。
断言 1 的证明： 假设矛盾，存在 ε>0\varepsilon > 0ε>0 使得 2−m∑q∈m2up(q)−ε=vψn(p)2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} u_p(q) - \varepsilon = v_{\psi_n(p)}2−m∑q∈m2up(q)−ε=vψn(p)。那么存在某个 h:m2→(Q∩[0,1])h: {}^m 2 \to (\mathbb{Q} \cap [0,1])h:m2→(Q∩[0,1]) 使得对所有 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2：
h(q)∈{{0}如果 up(q)=0,(up(q),up(q)−ε)否则.h(q) \in \begin{cases} \{0\} & \text{如果 } u_p(q) = 0, \\ (u_p(q), u_p(q) - \varepsilon) & \text{否则}. \end{cases} h(q)∈{{0}(up(q),up(q)−ε)如果 up(q)=0,否则.
注意 ψn(p)⌢⟨h⟩\psi_n(p)^\frown \langle h \rangleψn(p)⌢⟨h⟩ 是合法的，因为 ψn(p)\psi_n(p)ψn(p) 是合法的且：
2−m∑q∈m2h(q)≥2−m∑q∈m2(up(q)−ε)=vψn(p).2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} h(q) \ge 2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} \left( u_p(q) - \varepsilon \right) = v_{\psi_n(p)}. 2−mq∈m2∑h(q)≥2−mq∈m2∑(up(q)−ε)=vψn(p).
现在考虑 q:=τ(ψn(p)⌢⟨h⟩)q := \tau(\psi_n(p)^\frown \langle h \rangle)q:=τ(ψn(p)⌢⟨h⟩)。显然，根据 upu_pup 的定义，有 up(q)≤h(q)u_p(q) \le h(q)up(q)≤h(q)，因此 up(q)=h(q)=0u_p(q) = h(q) = 0up(q)=h(q)=0。因此，ψn(p)⌢⟨h,q⟩\psi_n(p)^\frown \langle h, q \rangleψn(p)⌢⟨h,q⟩ 与 τ\tauτ 一致但违反了规则 (b)，这与 τ\tauτ 是必胜策略的事实矛盾。⊣\dashv⊣ 断言 1
断言 2： 对所有 n∈ωn \in \omegan∈ω 有 2−mn∑p∈n(m2)fn(p)≤v+2mn−12mnδ2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} f_n(p) \le v + \frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}} \delta2−mn∑p∈n(m2)fn(p)≤v+2mn2mn−1δ。
断言 2 的证明： 我们对 nnn 进行归纳来证明这个陈述。当 n=0n = 0n=0 时，该断言成立，因为 f0f_0f0 将长度为 0 的序列映射到 vvv，因此：
2−m⋅0∑p∈0(m2)f(p)=v=v+2m⋅0−12m⋅0δ.2^{-m \cdot 0} \sum_{p \in {}^0 ({}^m 2)} f(p) = v = v + \frac{2^{m \cdot 0} - 1}{2^{m \cdot 0}} \delta. 2−m⋅0p∈0(m2)∑f(p)=v=v+2m⋅02m⋅0−1δ.
现在假设该陈述对某个 n∈ωn \in \omegan∈ω 成立。首先考虑任意 p∈Anp \in A_np∈An。
对所有满足 p⌢⟨q⟩∈An+1p^\frown \langle q \rangle \in A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈An+1 的 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2，根据定义有：
fn+1(p⌢⟨q⟩)=vψn(p⌢⟨q⟩)=aqp(q)≤up(q)+2−m(n+1)δ.f_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) = v_{\psi_n(p^\frown \langle q \rangle)} = a^p_q(q) \le u_p(q) + 2^{-m(n+1)} \delta. fn+1(p⌢⟨q⟩)=vψn(p⌢⟨q⟩)=aqp(q)≤up(q)+2−m(n+1)δ.
另一方面，对所有满足 p⌢⟨q⟩∉An+1p^\frown \langle q \rangle \notin A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈/An+1 的 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2，有：
fn+1(p⌢⟨q⟩)=1=up(q)≤up(q)+2−m(n+1)δ.f_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) = 1 = u_p(q) \le u_p(q) + 2^{-m(n+1)} \delta. fn+1(p⌢⟨q⟩)=1=up(q)≤up(q)+2−m(n+1)δ.
因此，我们由断言 1 得出结论：对所有 p∈Anp \in A_np∈An：
2−m∑q∈m2fn+1(p⌢⟨q⟩)≤2−m∑q∈m2(up(q)+2−m(n+1)δ)≤vψn(p)+δ2m(n+1)=fn(p)+δ2m(n+1).2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) \le 2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} \left( u_p(q) + 2^{-m(n+1)} \delta \right) \le v_{\psi_n(p)} + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}} = f_n(p) + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}}. 2−mq∈m2∑fn+1(p⌢⟨q⟩)≤2−mq∈m2∑(up(q)+2−m(n+1)δ)≤vψn(p)+2m(n+1)δ=fn(p)+2m(n+1)δ.
相反，对于 p∉Anp \notin A_np∈/An 和 q∈m2q \in {}^m 2q∈m2，我们有 p⌢⟨q⟩∉An+1p^\frown \langle q \rangle \notin A_{n+1}p⌢⟨q⟩∈/An+1，因此：
2−m∑q∈m2fn+1(p⌢⟨q⟩)=1≤1+δ2m(n+1)=fn(p)+δ2m(n+1).2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) = 1 \le 1 + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}} = f_n(p) + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}}. 2−mq∈m2∑fn+1(p⌢⟨q⟩)=1≤1+2m(n+1)δ=fn(p)+2m(n+1)δ.
因此，根据归纳假设以及 n+1(m2)=⨆q∈m2{p⌢⟨q⟩:p∈n(m2)}{}^{n+1} ({}^m 2) = \bigsqcup_{q \in {}^m 2} \{ p^\frown \langle q \rangle : p \in {}^n ({}^m 2) \}n+1(m2)=⨆q∈m2{p⌢⟨q⟩:p∈n(m2)} 这一事实，我们得出结论：
2−m(n+1)∑p∈n+1(m2)fn+1(p)=2−mn∑p∈n(m2)2−m∑q∈m2fn+1(p⌢⟨q⟩)≤2−n∑p∈n(m2)(fn(p)+δ2m(n+1))≤v+2mn−12mnδ+δ2m(n+1)=v+2m⋅(2mn−1)+12m(n+1)δ≤v+2m(n+1)−12m(n+1)δ.⊣断言 2\begin{aligned} 2^{-m(n+1)} \sum_{p \in {}^{n+1} ({}^m 2)} f_{n+1}(p) &= 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} 2^{-m} \sum_{q \in {}^m 2} f_{n+1}(p^\frown \langle q \rangle) \\ &\le 2^{-n} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} \left( f_n(p) + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}} \right) \\ &\le v + \frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}} \delta + \frac{\delta}{2^{m(n+1)}} = v + \frac{2^m \cdot (2^{mn} - 1) + 1}{2^{m(n+1)}} \delta \le v + \frac{2^{m(n+1)} - 1}{2^{m(n+1)}} \delta. \quad \dashv \text{断言 2} \end{aligned} 2−m(n+1)p∈n+1(m2)∑fn+1(p)=2−mnp∈n(m2)∑2−mq∈m2∑fn+1(p⌢⟨q⟩)≤2−np∈n(m2)∑(fn(p)+2m(n+1)δ)≤v+2mn2mn−1δ+2m(n+1)δ=v+2m(n+1)2m⋅(2mn−1)+1δ≤v+2m(n+1)2m(n+1)−1δ.⊣断言 2
固定某个任意的 n∈ωn \in \omegan∈ω。利用 f(p)=1f(p) = 1f(p)=1（如果 p∉Anp \notin A_np∈/An）且对所有 p∈n(m2)p \in {}^n ({}^m 2)p∈n(m2) 有 f(p)≥0f(p) \ge 0f(p)≥0 这一事实，我们从断言 2 推导出：
1−2−mn∣An∣=2−mn(2mn−∣An∣)=2−mn∑p∈n(m2)∖An1≤2−mn∑p∈n(m2)fn(p)≤v+2mn−12mnδ≤v+δ.1 - 2^{-mn} |A_n| = 2^{-mn} (2^{mn} - |A_n|) = 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2) \setminus A_n} 1 \le 2^{-mn} \sum_{p \in {}^n ({}^m 2)} f_n(p) \le v + \frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}} \delta \le v + \delta. 1−2−mn∣An∣=2−mn(2mn−∣An∣)=2−mnp∈n(m2)∖An∑1≤2−mnp∈n(m2)∑fn(p)≤v+2mn2mn−1δ≤v+δ.
取极限 n→∞n \to \inftyn→∞，我们由等式 (10) 得出结论：
μ∗(g~(X))≤limn→∞(1−∣An∣2−mn)≤v+δ.\mu^*(\tilde{g}(X)) \le \lim_{n \to \infty} \left( 1 - |A_n| 2^{-mn} \right) \le v + \delta. μ∗(g~(X))≤n→∞lim(1−∣An∣2−mn)≤v+δ.
由于这对所有 δ>0\delta > 0δ>0 都成立，引理得证。