[数理逻辑] 决定性公理与勒贝格可测性(I) 基础知识

决定性公理与勒贝格可测性 (I) 基础知识

决定性公理与勒贝格可测性 (II) 一维情况

决定性公理与勒贝格可测性 (III) 有限维情况

本文涉及决定性公理并非主流数学承认的，其与选择公理互斥，初学者请谨慎阅读。

Elia von Salis. The axiom of determinacy and Lebesgue measurability[D], Department of Mathematics, ETH Zurich,01.07.2024.

摘要:
基于 Donald A. Martin 的论文《决定性蕴含勒贝格可测性的一个简单证明》，本论文详细证明了决定性公理 (Axiom of Determinacy, AD) 蕴含所有实数集都是勒贝格可测的。为增强可读性，补充了 Martin 论文中省略的步骤，并系统性地介绍了测度论和博弈论的基本概念。最后，本论文将 Martin 的结果推广到了多维勒贝格测度的情形。

1. 引言 (Intruduction)

1.1 勒贝格测度 (Lebesgue measure)

定义 1.1 (勒贝格外测度). 对于 a,b∈R∪{±∞}a, b \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}a,b∈R∪{±∞} 且 $a<b$，定义区间 $I$ 的测度为：
$$\mu ((a,b))=\mu ([a,b))=\mu ((a,b])=\mu ([a,b])=b-a$$
（使用约定 $+\infty -a=b-(-\infty )=+\infty$）。
对于任意集合 $A\subseteq \mathbb{R}$，其外测度定义为：
$${\mu }^{\ast }(A):=\inf \left\{\sum _{k=0}^{\infty }\mu (I_k):\text{每个 }{I}_k\text{ 是一个区间且 }A\subseteq \bigcup _{k=0}^{\infty }{I}_k\right\}$$
进一步，如果对于所有集合 $B\subseteq \mathbb{R}$ 都有 ${\mu }^{\ast }(B)={\mu }^{\ast }(B\cap A)+{\mu }^{\ast }(B\setminus A)$，则称 $A$ 是可测的。对于可测集 $A\subseteq \mathbb{R}$，称 $\mu (A):={\mu }^{\ast }(A)$ 为 $A$ 的测度。

定义 1.3 (内测度). 如果 $A\subseteq [-n,n]$ 对某个 $n\in \omega$ 成立，则 $A$ 的内测度定义为：
$${\mu }_{\ast }(A):=\mu ([-n,n])-{\mu }^{\ast }([-n,n]\setminus A)$$
总有 ${\mu }_{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A)$，并且 ${\mu }_{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A)$ 当且仅当 $A$ 是可测的。因此内测度可用于检查集合是否可测。
其中 $\omega$ 是自然数集合，任意 $n\in \omega$ 表示 n={0,1,2,⋯,n−1}n=\{0,1,2,\cdots,n-1\}n={0,1,2,⋯,n−1}.
事实 1.4. 对于任意集合 $B\subseteq [-1,1]$ 和可测集 $A,C\subseteq \mathbb{R}$ 满足 $A\subseteq B\subseteq C$，有：
$$\mu (A)\le {\mu }_{\ast }(B)\le {\mu }^{\ast }(B)\le \mu (C)$$

事实 1.5. 对于任何可测集序列 $⟨A_k:k\in \omega ⟩$，以下陈述成立：
(i) 并集 ${\bigcup }_{k\in \omega }{A}_k$ 和交集 ${\bigcap }_{k\in \omega }{A}_k$ 是可测的。
(ii) 如果对所有 $k\in \omega$ 有 $A_k\subseteq A_{k+1}$，则 $\mu \left({\bigcup }_{k\in \omega }{A}_k\right)={\lim }_{k\to \infty }\mu (A_k)$。
(iii) 如果对所有 $k\in \omega$ 有 $A_k\supseteq A_{k+1}$ 且 $\mu (A_0)<\infty$，则 $\mu \left({\bigcap }_{k\in \omega }{A}_k\right)={\lim }_{k\to \infty }\mu (A_k)$。

1.2 博弈与决定性公理 (Games and the axiom of determinacy)

集合$A,B$ 用 ${}^{A}B$表示所有从$A$映射到 $B$ 的函数，集合${}^{\omega }\omega$ 表示全体自然数的无穷序列 。

定义 1.6 (无限博弈 $G_A$). 对于某个固定的 $A{\subseteq }^{\omega }\omega$，称为 $G_A$ 的无限双人完美信息博弈是一个回合制游戏，两名玩家轮流选择自然数：
玩家 I : $a_0{a}_1{a}_2\dots$
玩家 II : $b_0{b}_1{b}_2\dots$
起始玩家记为 I，另一玩家记为 II，每位玩家都完全知晓所有之前的移动。结果序列 $z:=⟨a_0,b_0,a_1,b_1,\dots ⟩{\in }^{\omega }\omega$ 称为 $G_A$ 的一局对弈 (play)。如果 $z\in A$，则玩家 I 获胜；如果 $z\notin A$，则玩家 II 获胜。没有平局。

定义 1.7 (策略). 玩家 I （先手或者第偶数步博弈者）的一个策略是一个映射：
$$\sigma :\bigcup _{n\in \omega }{}^{2n}\omega \to \omega$$
玩家 II（后手或者第奇数步博弈者） 的一个策略是一个映射：
$$\tau :\bigcup _{n\in \omega }{}^{2n+1}\omega \to \omega$$
策略 $\sigma$ 为每个长度为偶数的自然数序列指定另一个自然数，代表玩家 I 的下一步移动。策略 $\tau$ 则为每个长度为奇数的序列指定玩家 II 的下一步移动。

定义 1.8 (策略一致性). 若玩家 I 遵循策略 $\sigma$，则称 $G_A$ 的一局对弈 $z=⟨a_0,b_0,a_1,b_1,\dots ⟩$ 与 $\sigma$ 一致，如果：
$$\forall n\in \omega :a_n=\sigma (⟨a_0,b_0,a_1,b_1,\dots ,a_{n-1},b_{n-1}⟩)$$
类似地，若玩家 II 遵循策略 $\tau$，则称 $z$ 与 $\tau$ 一致，如果：
$$\forall n\in \omega :b_n=\tau (⟨a_0,b_0,a_1,\dots ,b_{n-1},a_n⟩)$$

定义 1.9 (策略对序列的响应 $\sigma \ast b$). 对于 α∈ω∪{ω}\alpha \in \omega \cup \{\omega\}α∈ω∪{ω} 和玩家 II 移动的一个（有限或无限）序列 $b=⟨b_n:n\in \alpha ⟩\in {}^{\alpha }2$，定义：
$$\sigma \ast b:=\{\begin{array}{ll}⟨a_0,b_0,a_1,b_1,\dots ⟩{\in }^{\omega }\omega & \text{if }\alpha =\omega [无限]\\ ⟨a_0,b_0,a_1,b_1,\dots ,a_{\alpha }⟩\in {}^{2\alpha +1}\omega & \text{if }\alpha \in \omega [有限]\end{array}$$
其中 $a_n:=\sigma (⟨a_0,b_0,\dots ,a_{n-1},b_{n-1}⟩)$ 分别对所有 $n\in \omega$ (若 $\alpha =\omega$) 或对所有 $n\le \alpha$ (若 $\alpha \in \omega$) 成立。

定义 1.10 (必胜策略). 玩家 I（或玩家 II）的一个策略 $\rho$ 称为必胜策略，如果 $G_A$ 的每一局与 $\rho$ 一致的对弈都是玩家 I（或玩家 II）的胜利。

定义 1.11 (决定性). 如果存在玩家 I 或玩家 II 的必胜策略，则称博弈 $G_A$ 是决定的 (determined)。

定义 1.12 (决定性公理, AD). 决定性公理 (Axiom of Determinacy, AD) 断言：对于所有 $A{\subseteq }^{\omega }\omega$，博弈 $G_A$ 都是决定的。

对于必胜策略的博弈，其实在几何问题上有一个例子可以作为参考，假设一个面积有限的方桌上，两个博弈者轮流摆放相同大小的扑克牌，且任意两个扑克牌不能有交点。直到一人无法再放满足条件的扑克牌则认输。这个博弈是有限步停止的，并且对先手存在必胜策略。即第一张牌放在桌子的中央，后手每放一张牌，先手只需放在与桌子中央中心对称的地方即可，并且只要后手能在桌面找到空位，通过中心对称性先手也能空位。

当桌面面积假设为无限大时，则为无限博弈。难以设计必胜策略。因此对无限博弈对其中一方假设存在必胜策略只能作为公理。难以证明。

2. 通过决定性证明可测性 (Proving measurability through determinacy)

2.1 实数的二进制表示 (Binary representation of real numbers)

定义函数 $g:{}^{\omega }2\to [0,1]$ 将无限二进制序列映射到 [0,1] 区间：
$$g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)2^{-(n+1)}$$

引理 2.1. 对所有 $n\in \omega$ 和所有 $p\in {}^{n}2$，有：
g({x∈ω2:x∣n=p})=[∑k=0n−1p(k)2−(k+1),2−n+∑k=0n−1p(k)2−(k+1)]g(\{x \in {}^\omega 2 : x|_n = p\}) = \left[ \sum_{k=0}^{n-1} p(k) 2^{-(k+1)},\quad 2^{-n} + \sum_{k=0}^{n-1} p(k) 2^{-(k+1)} \right] g({x∈ω2:x∣n​=p})=[k=0∑n−1​p(k)2−(k+1),2−n+k=0∑n−1​p(k)2−(k+1)]
证明:
令 $n\in \omega$ 和 $p\in {}^{n}2$ 是任意的。对所有满足 $x{|}_n=p$ 的 $x\in {}^{\omega }2$，有：
$$0\le \sum _{k=0}^{\infty }x(k)2^{-(k+1)}-\sum _{k=0}^{n-1}p(k)2^{-(k+1)}=\sum _{k=n}^{\infty }x(k)2^{-(k+1)}\le \sum _{k=n}^{\infty }{2}^{-(k+1)}=2^{-n},$$
或者等价地，$g(x)\in \left[{\sum }_{k=0}^{n-1}p(k)2^{-(k+1)},2^{-n}+{\sum }_{k=0}^{n-1}p(k)2^{-(k+1)}\right]$。因此，我们证明了等式 (1) 的一个包含关系。

为了证明另一个包含关系，令 $y\in \left[{\sum }_{k=0}^{n-1}p(k)2^{-(k+1)},2^{-n}+{\sum }_{k=0}^{n-1}p(k)2^{-(k+1)}\right]$ 是任意的。我们递归地定义：
$$y_k=\{\begin{array}{ll}p(k)& \text{如果 }k<n,\\ 0& \text{如果 }k\ge n\text{ 且 }y-{\sum }_{j=0}^{k-1}{y}_j{2}^{-(j+1)}<2^{-(k+1)},\\ 1& \text{其他情况}.\end{array}$$
通过归纳法，可以证明对所有 $\ell \ge n$ 有 $0\le y-{\sum }_{k=0}^{\ell }{y}_k{2}^{-(k+1)}\le 2^{-(\ell +1)}$。取极限 $\ell \to \infty$，我们得到：
$$g(⟨y_k:k\in \omega ⟩)=\underset{\ell \to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^{\ell }{y}_k{2}^{-(k+1)}=y.\square$$
注意，对于 $n=0$，这个引理意味着 $g({}^{\omega }2)=[0,1]$，因此 $g$ 是一个定义良好的满射。

引理 2.2. 对每个 $t\in [0,1]$，有 ∣g−1({t})∣≤2|g^{-1}(\{t\})| \leq 2∣g−1({t})∣≤2。（即二进制表示几乎唯一，最多两个序列对应同一个实数 例如 $g(⟨1,0,0,\cdots ,⟩)=\frac{1}{2}=g(⟨0,1,1,\cdots ⟩)$ ）其中 $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素数量。

类似十进制中 $0.\dot{9}=1$. 即 $[0,1]$ 中任何1个值最多不会超过两种表示.

证明:
[反证法] 存在 $t\in [0,1]$ 使得 ∣g−1({t})∣>2|g^{-1}(\{t\})| > 2∣g−1({t})∣>2。选择不同的元素 x,x′,x′′∈g−1({t})x, x', x'' \in g^{-1}(\{t\})x,x′,x′′∈g−1({t})。由于 $x\ne x^{\prime }$，存在一个最小的 $n\in \omega$ 使得 $x(n)\ne x^{\prime }(n)$。不失一般性，假设 $x(n)=1$ 且 $x^{\prime }(n)=0$。有：
$$\begin{array}{rl}0=& g(x^{\prime })-g(x)\\ =& \sum _{k=0}^{\infty }{x}^{\prime }(k)2^{-(k+1)}-\sum _{k=0}^{\infty }x(k)2^{-(k+1)}\\ =& \sum _{k=n}^{\infty }(x^{\prime }(k)-x(k))2^{-(k+1)}\\ =& (x^{\prime }(n)-x(n))2^{-(n+1)}+\sum _{k=1}^{\infty }(x^{\prime }(k+n)-x(k+n))2^{-(k+n+1)}\\ =& 2^{-(n+1)}\left(-1+\sum _{k=1}^{\infty }(x^{\prime }(k+n)-x(k+n))2^{-k}\right).\end{array}$$
这等价于：
$$\sum _{k=1}^{\infty }(x^{\prime }(k+n)-x(k+n))2^{-k}=1,$$
由于 $x^{\prime }(k+n)-x(k+n)\le 1$，这恰好意味着对所有 $k\ge 1$ 有 $x^{\prime }(k+n)-x(k+n)=1$。因此，我们有对所有 $k>n$ 有 $x(k)=0$ 且 $x^{\prime }(k)=1$。由于假设 $x(n)=1$，所以 n=max⁡{k∈ω:x(k)=1}n = \max \{k \in \omega : x(k) = 1\}n=max{k∈ω:x(k)=1} 。

现在考虑使得 $x(m)\ne x^{\prime \prime }(m)$ 的最小 $m\in \omega$。使用与上述相同的论证，并且利用 $x$ 不可能在无限多个点上是 1 这一事实，我们得到对所有 $k>m$ 有 $x(k)=0$ 且 $x^{\prime \prime }(k)=1$，并且进一步有 m=max⁡{k∈ω:x(k)=1}=nm = \max \{k \in \omega : x(k) = 1\} = nm=max{k∈ω:x(k)=1}=n。因此，我们得出结论：对所有 $k\in \omega$ 有 $x^{\prime }(k)=x^{\prime \prime }(k)$，从而 $x^{\prime }=x^{\prime \prime }$。这与 $x^{\prime }$ 和 $x^{\prime \prime }$ 是不同的假设矛盾。$\square$

推论 2.3. 对于任何满足 ${}^{\omega }2\supseteq X_0\supseteq X_1\supseteq \dots$ 的序列 $⟨X_n:n\in \omega ⟩$，有：
$$g\left(\bigcap _{n\in \omega }{X}_n\right)=\bigcap _{n\in \omega }g(X_n)$$
如果进一步对所有 $n\in \omega$ 有 $g(X_n)$ 可测，则 $g\left({\bigcap }_{n\in \omega }{X}_n\right)$ 可测，且：
$$\mu \left(g\left(\bigcap _{n\in \omega }{X}_n\right)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (g(X_n))$$

证明:
令 $y\in [0,1]$ 是任意的。由于 $g$ 是满射且根据引理 2.2，存在（不一定不同的）$x_0,x_1\in {}^{\omega }2$ 使得 {x0,x1}=g−1({y})\{x_0, x_1\} = g^{-1}(\{y\}){x0​,x1​}=g−1({y})。我们证明以下等价关系以证明第一部分。这里唯一不能直接推出的蕴含是 (3) ⇒ (4)。
y∈⋂n∈ωg(Xn)⇔∀n∈ω:y∈g(Xn)(2)⇔∀n∈ω:(x0∈Xn∨x1∈Xn)(3)⇔∃i∈{0,1}∀n∈ω:xi∈Xn(4)⇔y∈g(⋂n∈ωXn)(5)\begin{aligned} &y \in \bigcap_{n\in\omega} g(X_n) \Leftrightarrow \forall n \in \omega : y \in g(X_n) &(2) \\ &\Leftrightarrow \forall n \in \omega : (x_0 \in X_n \lor x_1 \in X_n) &(3) \\ &\Leftrightarrow \exists i \in \{0,1\} \forall n \in \omega : x_i \in X_n &(4) \\ &\Leftrightarrow y \in g\left( \bigcap_{n\in\omega} X_n \right) &(5) \end{aligned} ​y∈n∈ω⋂​g(Xn​)⇔∀n∈ω:y∈g(Xn​)⇔∀n∈ω:(x0​∈Xn​∨x1​∈Xn​)⇔∃i∈{0,1}∀n∈ω:xi​∈Xn​⇔y∈g(n∈ω⋂​Xn​)​(2)(3)(4)(5)​
我们通过逆否证明蕴含 (3) ⇒ (4)：如果 (4) 不成立，固定 i∈{0,1}i \in \{0,1\}i∈{0,1}。我们可以找到 $n_i\in \omega$ 使得 $x_i\notin X_{n_i}$。但由于 $X_0\supseteq X_1\supseteq \dots$，我们得到对所有 $m\ge n_i$ 有 $x_i\notin X_m$。特别地，对于 n≥max⁡{n0,n1}n \ge \max\{n_0, n_1\}n≥max{n0​,n1​}，我们有 $x_0\notin X_n$ 且 $x_1\notin X_n$，因此 (3) 不成立。

现在假设对所有 $n\in \omega$ 有 $g(X_n)$ 可测。那么根据事实 1.5 的 (i) 部分，$g\left({\bigcap }_{n\in \omega }{X}_n\right)={\bigcap }_{n\in \omega }g(X_n)$ 是可测的。最后，注意对所有 $k\in \omega$ 有 $g(X_k)\supseteq g(X_{k+1})$ 且 $\mu (g(X_0))\le \mu ([0,1])=1<\infty$。因此，根据事实 1.5 的 (iii) 部分，我们得到：
$$\mu \left(g\left(\bigcap _{n\in \omega }{X}_n\right)\right)=\mu \left(\bigcap _{n\in \omega }g(X_n)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (g(X_n)).$$
$\square$

2.2 博弈设置 (Game setup)

核心博弈 $G_{v,X}$ 定义如下：

• 固定 $X\subseteq {}^{\omega }2$ 和 $v\in (0,1]$。
• 玩家 I 选择有理数对 $h_n\in {}^2(\mathbb{Q}\cap [0,1])$ （即 $h_n=⟨h_n(0),h_n(1)⟩$）。
• 玩家 II 选择二进制数字 en∈{0,1}e_n \in \{0, 1\}en​∈{0,1}。
  对弈序列： $z=⟨h_0,e_0,h_1,e_1,\dots ⟩$
  规则（双方必须遵守）：
  (a) $\frac{1}{2}{h}_n(0)+\frac{1}{2}{h}_n(1)\ge v_n$
  (b) $h_n(e_n)\ne 0$
  其中递归定义 $v_0:=v$, $v_{n+1}:=h_n(e_n)$。
  如果最终序列 $⟨e_n:n\in \omega ⟩\in X$，则玩家 I 获胜；否则玩家 II 获胜。

定义 2.4 (合法对弈). 如果双方玩家都遵守规则 (a) 和 (b)，则称 $G_{v,X}$ 的一局对弈 $z$ 是合法的 (legal)。

定义 2.5 (记号 $v_{z{|}_{2n}},h_{z{|}_{2n+1}}$). 对于对弈 $z=⟨h_0,e_0,h_1,e_1,\dots ⟩$ 和上面定义的 $v_n$，对于 $n\in \omega$，记：
$$v_{z{|}_{2n}}=v_{z{|}_{2n+1}}:=v_n\text{和}{h}_{z{|}_{2n+1}}:=h_n$$

备注 2.6. 注意，博弈 $G_{v,X}$ 并不具有第 1.2 节中为某个 $A\subseteq {}^{\omega }\omega$ 所引入的 $G_A$ 的形式。然而，通过一些记号的改变，它与一个 $G_A$ 博弈是等价的。

首先注意，即使没有选择公理，也存在一个双射 $\omega \to {}^2\omega$ 和一个双射 $\omega \to \mathbb{Q}\cap [0,1]$。因此存在一个双射 $q:{}^2(\mathbb{Q}\cap [0,1])\to \omega$。

在第 1.2 节中，玩家只被允许选择自然数，因此在 $G_{v,X}$ 中，我们将用 $q(h_n)$ 替换 $h_n$。

现在考虑集合 $A\subseteq {}^{\omega }\omega$，它由所有满足以下情况之一的 $G_{v,X}$ 的对弈 $z$ 组成：
(i) 玩家 II 选择了某个 en∉{0,1}e_n \notin \{0,1\}en​∈/​{0,1}。
(ii) 玩家 II 在玩家 I 违反规则之前违反了规则。
(iii) 双方都没有违反规则，并且 $z$ 是玩家 I 的胜利。

那么，除了这个记号的改变之外，博弈 $G_{v,X}$ 与 $G_A$ 是相同的。这种方法进一步 legitimizes（使合理化/正当化）了在定义 2.4 之前所考虑的包含非法着法的对弈。

现在我们考察 $G_{v,X}$ 是如何进行的。假设序列 $r:=⟨h_0,e_0,h_1,\dots ,e_{n-1}⟩$ 已经被行棋。玩家 II 可以选择任何 en∈{0,1}e_n \in \{0,1\}en​∈{0,1}，除非玩家 I 选择了某个 $h_n$ 使得对某个 e∈{0,1}e \in \{0,1\}e∈{0,1} 有 $h_n(e)=0$，这将迫使玩家 II 根据规则 (b) 行棋 $e_n:=1-e$。在这种情况下，规则 (a) 确保：
$$\frac{1}{2}{h}_n(0)+\frac{1}{2}{h}_n(1)=\frac{1}{2}{h}_n(e_n)\ge v_n,$$
导致 $v_{n+1}=h_n(e_n)\ge 2v_n$。这对玩家 I 来说可能是不利的，因为根据规则 (a)，只要 $v_{n+1}\le \frac{1}{2}$，他们只能选择一个包含零的 $h_{n+1}$。这种情况进一步说明，保持 $h_n$ 的两个值在规则 (a) 允许的范围内尽可能小，对玩家 I 是有利的。

为了更好地理解 $G_{v,X}$ 的目的，我们讨论一下这个博弈的一种解释：对于 e∈{0,1}e \in \{0,1\}e∈{0,1}，考虑区间：
Ine:=g({x∈ω2:x∣n+1=⟨e0,e1,…,en−1,e⟩}).I^e_n := g\left( \left\{ x \in {}^\omega 2 : x|_{n+1} = \langle e_0, e_1, \ldots, e_{n-1}, e \rangle \right\} \right). Ine​:=g({x∈ω2:x∣n+1​=⟨e0​,e1​,…,en−1​,e⟩}).
注意，$I_n^0$ 和 $I_n^1$ 分别对应于 $I_{n-1}^{e_{n-1}}$ 的左侧和右侧部分。

在一局对弈 $z=r^{⌢}⟨h_n,e_n,h_{n+1},e_{n+1},\dots ⟩$ 中，序列 $x=⟨e_0,e_1,\dots ⟩$ 决定了获胜者。根据引理 2.1，有 $g(x)\in I_n^{e_n}$，允许玩家 II 通过选择相应的 en∈{0,1}e_n \in \{0,1\}en​∈{0,1} 将 $g(x)$ 放置在 $I_n^0$ 或 $I_n^1$ 中。

暂时假设 $g(X)$ 是可测的。直观地说，$\mu (g(X))=\frac{\mu (g(X))}{\mu (g({}^{\omega }2))}$ 为原本未定义的比率 $\frac{|X|}{|{}^{\omega }2|}$ 分配了一个值。例如，如果 X={x∈ω2:x(0)=0}X = \{ x \in {}^\omega 2 : x(0) = 0 \}X={x∈ω2:x(0)=0}，那么 $\mu (g(X))=\mu ([0,\frac{1}{2}])=\frac{1}{2}$ 表明所有无限 {0,1} 序列中有一半以 0 开头。

在这种解释下，$\mu \left(g(X)\cap I_n^e\right)$ 度量了比率：
∣{x∈X:x∣n+1=⟨e0,e1,…,en−1,e⟩}∣∣ω2∣,\frac{ \left| \{ x \in X : x|_{n+1} = \langle e_0, e_1, \ldots, e_{n-1}, e \rangle \} \right| }{ \left| {}^\omega 2 \right| }, ∣ω2∣∣{x∈X:x∣n+1​=⟨e0​,e1​,…,en−1​,e⟩}∣​,
而 $2^{n+1}\mu \left(g(X)\cap I_n^e\right)$ 度量了：
∣{x∈X:x∣n+1=⟨e0,e1,…,en−1,e⟩}∣∣{x∈ω2:x∣n+1=⟨e0,e1,…,en−1,e⟩}∣.\frac{ \left| \{ x \in X : x|_{n+1} = \langle e_0, e_1, \ldots, e_{n-1}, e \rangle \} \right| }{ \left| \{ x \in {}^\omega 2 : x|_{n+1} = \langle e_0, e_1, \ldots, e_{n-1}, e \rangle \} \right| }. ∣{x∈ω2:x∣n+1​=⟨e0​,e1​,…,en−1​,e⟩}∣∣{x∈X:x∣n+1​=⟨e0​,e1​,…,en−1​,e⟩}∣​.
我们如下解释移动 $h_n$ 和 $e_n$：玩家 I 声称对每个 e∈{0,1}e \in \{0,1\}e∈{0,1} 有下界：
$$2^{n+1}\mu \left(g(X)\cap I_n^e\right)\ge h_n(e).$$
通过选择 en∈{0,1}e_n \in \{0,1\}en​∈{0,1}，玩家 II 断言这个下界对 $e_n$ 不成立。规则 (b) 防止对零下界提出质疑，而规则 (a) 确保，如果玩家 I 的下界是正确的，那么：
vn≤12∑e∈{0,1}hn(e)≤2n∑e∈{0,1}μ(g(X)∩Ine)=2nμ(g(X)∩In−1en−1).v_n \le \frac{1}{2} \sum_{e \in \{0,1\}} h_n(e) \le 2^n \sum_{e \in \{0,1\}} \mu\left( g(X) \cap I^e_n \right) = 2^n \mu\left( g(X) \cap I^{e_{n-1}}_{n-1} \right). vn​≤21​e∈{0,1}∑​hn​(e)≤2ne∈{0,1}∑​μ(g(X)∩Ine​)=2nμ(g(X)∩In−1en−1​​).
例如，假设 $v\le \frac{1}{4}$ 且 $X$ 是所有以 $⟨0,1⟩$ 开头的 {0,1} 序列的集合。玩家 I 总是可以通过选择 $h_0=⟨\frac{1}{2},0⟩$ 和 $h_1=⟨0,1⟩$ 获胜。规则 (b) 迫使玩家 II 选择 $e_0=0$ 和 $e_1=1$，确保玩家 I 获胜。移动 $h_0$ 可以解释为声称至少一半以 0 开头的 ${}^{\omega }2$ 中的序列包含在 $X$ 中，而 $h_1$ 可以解释为声称所有以 $⟨0,1⟩$ 开头的 ${}^{\omega }2$ 中的序列都包含在 $X$ 中。

我们现在想为接下来两节（$g(X)$ 不一定可测的情况）中的引理提供一些直观理解。如果玩家 I 有一个必胜策略，那么他们的下界 $h_n$ 必须总是准确的。对于 $n=0$，这意味着：
$$v=v_0\le 2^0{\mu }_{\ast }(g(X)),$$
因为 ${\mu }_{\ast }(g(X))$ 代表了 $g(X)$ 的测度的最大下界。

相反，如果玩家 II 有一个必胜策略，那么玩家 I 甚至无法为 ${\mu }^{\ast }(g(X))$ 提供准确的下界，所以：
$$v=v_0\ge {\mu }^{\ast }(g(X)).$$

附合法博弈的理解（deepseek 生成）

设计初衷 (Design Purpose)

1. 连接“大小”与“策略”：核心目标是证明：如果所有博弈都是决定的（AD 成立），那么所有实数集都是勒贝格可测的。为此，需要为每个可能的实数子集 $Y\subseteq [0,1]$（或其原像 $X=g^{-1}(Y)\subseteq {}^{\omega }2$）和一个数值 $v\in [0,1]$，设计一个博弈。这个博弈的获胜条件必须使得：

   • 如果 $Y$ 的“内部大小”（内测度）大于等于 $v$，那么玩家 I 应该有一个必胜策略。
   • 如果 $Y$ 的“外部大小”（外测度）小于等于 $v$，那么玩家 II 应该有一个必胜策略。
   • “合法对弈”的规则就是为了精确地实现这种对应关系而精心设计的。

2. 模拟“测度”的迭代计算：博弈被设计成可以模拟在单位区间 $[0,1]$ 上不断对半细分的过程（这对应于在 Cantor 空间 ${}^{\omega }2$ 中逐步确定一个无限序列的更多位数）。每一步，玩家 I 声称集合 $X$（或等价地 $g(X)$）在当前的细分区间中占有一定的“密度”，而玩家 II 则试图质疑这个声称。规则 (a) 和 (b) 确保了这些“密度声称”是合乎逻辑且可操作的。

3. 避免琐碎的策略和非建设性的选择：规则防止玩家采取“无赖”行为，从而迫使对弈必须围绕着集合 $X$ 的实际“大小”进行。例如，规则 (b) 阻止玩家 II 去质疑一个为 0 的下界（因为 0 总是有效的下界，质疑它没有意义），同时也避免了对选择公理的依赖。玩家 I 的策略函数 $h_n$ 的值被限制在有理数范围内，这使得策略空间可以被良序化（例如通过编号），从而在证明中不需要使用选择公理来选择“最佳响应”。

含义解析 (Meaning Breakdown)

让我们看看规则的具体含义：

规则 (a):
$$\frac{1}{2}{h}_n(0)+\frac{1}{2}{h}_n(1)\ge v_n$$

• 玩家 I 的“承诺”：玩家 I 通过选择函数 hn:{0,1}→Q∩[0,1]h_n: \{0,1\} \to \mathbb{Q} \cap [0,1]hn​:{0,1}→Q∩[0,1] 做出一个声明：“我认为，无论玩家 II 接下来选择 0 还是 1，集合 $X$ 在对应的那一半细分空间中的‘密度’至少是 $h_n(0)$ 和 $h_n(1)$”。
• 期望值约束：这个规则要求玩家 I 的这两个“密度下界”的平均值必须至少等于当前的价值 $v_n$。这迫使玩家 I 的声明不能过于悲观，必须与博弈至今的历史（体现在 $v_n$ 中）相一致。如果玩家 I 违反此规则，则立即判负。

规则 (b):
如果 $h_n(e)=0$ 对于某个 e∈{0,1}e \in \{0,1\}e∈{0,1} 成立，那么玩家 II 必须选择 $e_n=1-e$。

• 防止无意义质疑：如果玩家 I 声称在某个分支（比如 0）上的密度下界是 0，这是一个永远为真的声明（因为密度最小就是 0）。允许玩家 II 选择 $e_n=0$ 来“质疑”一个总是为真的事实是荒谬的，并且会破坏博弈与测度的联系。规则 (b) 强制玩家 II 在这种情况下必须选择另一个分支（1），去质疑那个非零的密度下界 $h_n(1)$（如果它也为 0，则玩家 I 已经违反了规则 (a)，因为平均值达不到 $v_n$）。
• 定义后续价值：玩家 II 的选择 $e_n$ 决定了博弈的进程，并更新价值函数：$v_{n+1}=h_n(e_n)$。这意味着玩家 II 通过选择 $e_n$，实际上是说：“我质疑你关于这个分支（$e_n$）的密度下界 $h_n(e_n)$。我们现在就把这个值 $h_n(e_n)$ 当作新的基准 $v_{n+1}$，请你在这个更精细的层次上证明你的声称。”

总结与直观理解

可以将 “合法对弈” 理解为一场关于集合 $X$ 测度的辩论：

• 玩家 I 是 “声称者”：他不断声称 $X$ 是“大”的，并在每一步提供在两个更细小的范围内 $X$ 的“密度”下界。
• 玩家 II 是 “质疑者”：他不断挑战玩家 I 的声称，通过选择其中一个范围说：“我不信在这个小范围里有你说的那么密，请你证明给我看！”
• 规则 (a) 确保了玩家 I 的声称不能前后矛盾，必须越来越精确。
• 规则 (b) 确保了玩家 II 的质疑必须针对那些有争议的（非零的）、可被证伪的声称。

最终，如果对弈无限进行下去且从未违反规则，就产生了一个无限序列 $x=⟨e_0,e_1,e_2,...⟩$。胜负条件检查这个序列 $x$ 是否属于 $X$：

• 如果 $x\in X$，则玩家 I 的层层声称最终被证实，玩家 I 获胜。
• 如果 $x\notin X$，则玩家 II 的质疑成功找到了玩家 I 声称的破绽，玩家 II 获胜。

因此，“合法对弈”的精心设计，使得玩家的策略（预测和应对能力）能否必胜，直接反映了集合 $X$ 的内测度（对玩家 I 而言）和外测度（对玩家 II 而言）与给定值 $v$ 的关系。这正是证明 AD 蕴含所有实数集可测的关键桥梁。