量子计算学习续（第十五周周报）
摘要
本文系统梳理了量子计算的核心基础：通过布洛赫球模型将量子态可视化，阐释了量子系统时间演化的线性特性与酉算子约束，列举了关键的单量子比特门及其矩阵表示，并从薛定谔方程出发推导出时间演化算符的数学形式，强调了哈密顿算符的厄米特性质及级数展开的数学方法。
Abstract
This article systematically outlines the fundamentals of quantum computing: visualizing quantum states via the Bloch sphere model, explaining the linear nature of quantum system time evolution and the unitary operator constraint, listing key single-qubit gates and their matrix representations, and deriving the mathematical form of the time evolution operator from the Schrödinger equation, highlighting the Hermitian nature of the Hamiltonian operator and the mathematical approach of series expansion.
1 布洛赫球模型
2 量子系统简单解释
3 总结
1 布洛赫球模型
下面是将抽象的量子态向量可视化为球面上一点的布洛赫球模型图。
球体的北极和南极分别代表了两个基础量子态 |0⟩ 和 |1⟩。任何一个可能的量子态都可以用从这个球心指向球面某一点的向量来表示。该点的位置由两个角度参数唯一确定：θ 决定了向量相对于北极 |0⟩ 的倾斜角度，而 φ则代表了在赤道平面上的方位角，它直接对应着量子态的相对相位。
图片右侧的核心公式 正是这种几何表示的数学表达。它告诉我们，一个量子比特的状态可以表示为基态 |0⟩ 和 |1⟩ 的叠加，其权重由 θ 控制，而关键的复数相位信息则由 e^(iφ) 给出。因此，布洛赫球将难以想象的复数概率幅转化为了一个清晰的三维几何图像，是理解量子比特叠加、相位和所有可能状态的基石。
2 量子系统简单解释
量子系统的时间演化是线性的。如下图所示。
如果一个初始量子态 |ψ⟩ 会演化到 |ψ'⟩，另一个初始态 |φ⟩ 会演化到 |φ'⟩，那么它们的任意一个线性组合 α|ψ⟩ + β|φ⟩ 也会演化到对应的线性组合 α|ψ'⟩ + β|φ'⟩。这意味着量子系统的演化操作就像一个线性函数，会保持叠加态中各组成部分的系数（α 和 β）。这一线性性质是薛定谔方程的必然结果，它保证了量子叠加原理在时间演化下依然成立，是整个量子理论数学框架的基石，也是许多量子效应（如干涉）能够存在的根本原因。
量子系统的状态演化必须由酉算子来描述。这一特性保证了量子演化过程是可逆的，并且会保持量子态向量的归一化（总概率为1）。如下图所示。
量子非门 为例深入说明了这一点。非门的矩阵表示为 (0110)，它的作用是翻转一个量子比特的状态（将 |0⟩ 变为 |1⟩，将 |1⟩ 变为 |0⟩）。图中关键地指出，这个矩阵的厄米共轭 等于其自身，即它是一个酉矩阵，满足 U†=U−1。这正是它能作为一个合法量子门的原因。
图片中列举了最常见的单量子比特门及其精确的矩阵表示，包括：
Identity门 (I)：保持状态不变。
Pauli-X/Y/Z门：分别实现绕布洛赫球不同轴的旋转。
Hadamard门 (H)：用于创建叠加态的关键门。
S门和T门：提供更精细的相位旋转，是构建复杂量子算法的基础组件。
从量子力学的基本定律——薛定谔方程开始：iħ d/dt |Ψ(t)> = H |Ψ(t)>。这里的 H是哈密顿算符，它对应于系统的总能量，并且在笔记中被明确指出是一个厄米特矩阵，满足 H† = H这一关键性质。厄米特性质保证了系统的能量本征值为实数，这是物理观测的必然要求。
为了更具体地理解这个指数算符，将其展开为泰勒级数：e^(-iHt/ħ) = I + (-iHt/ħ) + (-iHt/ħ)²/2! + ...。这个展开式将抽象的指数运算转化为无穷多个矩阵幂的求和，揭示了其数学内核。
最后，斯特林公式通常用于近似计算大数的阶乘（如 k!），在具体计算上述级数或处理相关物理问题时，可能会用到这种近似方法来简化计算。
3 总结
成了量子计算的理论基石，核心在于掌握量子态（布洛赫球）、动力学演化（线性与酉性）及操作工具（量子门）的数学描述，最终统一于薛定谔方程衍生的演化算符，形成从静态表征到动态演化的完整认知闭环。