特征值和特征向量

1.定义

若存在非零向量 𝑣和标量 𝜆，使：$Av=\lambda v$
则 𝜆 称为矩阵的 特征值 (eigenvalue)，𝑣 称为对应的 特征向量 (eigenvector)。
意思是：矩阵 𝐴 作用在 𝑣 上时，只改变大小（放大/缩小 𝜆 倍），方向不变。

什么叫做矩阵A作用在向量v上？

矩阵可以看作一种 线性变换，它会把空间里的点或向量进行旋转、拉伸、压缩、反射等操作。
在二维空间：
如果$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$，那么作用在向量$v$上，就是把它放大2倍（各方向等比放大）。

如果$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，那么作用在$v$上，就是把它旋转$90^{\circ }$

如果$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$，就是把$v$沿着$x$轴镜像翻转。
在三维空间：
矩阵可以表示绕某个轴的旋转、对某个平面的投影、或者非均匀缩放（比如 $x$ 方向缩小 0.5 倍，$y$ 方向放大 2 倍）。

一般情况下，矩阵会把 𝑣 的方向和大小都改掉；
但如果 𝑣 是某个特征向量，那么矩阵作用后，它的方向保持不变，只是被拉伸/压缩了 𝜆 倍：$Av=\lambda v$
这就是“矩阵作用”的特别之处：大多数向量方向都会变，唯独特征向量的方向保持不变。

$A\cdot B$是指矩阵$A$作用在矩阵$B$上，本质上就是矩阵$A$作用在矩阵$B$的每一列上，就是把$B$的每一列做相同的变换。

2.几何意义

• 特征向量：矩阵作用下“不转向”的方向。
• 特征值：该方向上被拉伸/压缩的倍数。
• 如果特征值为负，还会反转方向。

3.特征值和特征向量的计算

$$\begin{gathered} Av=\lambda v \\ Av-\lambda v=0 \\ (A-\lambda I)v=0 \end{gathered}$$
$I$是单位矩阵。
若$v\ne 0$，要有非零解，必须满足：$det(A-\lambda I)=0$这就是特征方程。
解出特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$ 得到的根，就是 $A$ 的 特征值。
把某个特征值 $\lambda$ 代入 $(A-\lambda I)v=0$，解出非零向量 $v$，就是对应的 特征向量。

举例
示例矩阵为 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$
列特征方程：
$$\begin{gathered} det(A-\lambda I)=det\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right]=(2-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-4\lambda +3=0 \\ 解得{\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3 \end{gathered}$$
求特征向量：
$\lambda =1$时：
$$\begin{gathered} (A-I)v=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0 \\ \{\begin{array}{rl}& x+y=0\\ & x+y=0\end{array} \\ 解得x=1,y=-1,v=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]（任意倍数都可以） \end{gathered}$$
$\lambda =3$时：
$$\begin{gathered} (A-I)v=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0 \\ \{\begin{array}{rl}& -x+y=0\\ & x-y=0\end{array} \\ 解得x=1,y=1,v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]（任意倍数都可以） \end{gathered}$$

4.特征值与行列式、迹

1.行列式与特征值的关系
$det(A)={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$
行列式等于所有特征值的乘积。
几何解释：体积缩放因子可以看作各个特征方向上的拉伸系数相乘。

2.迹与特征值的关系
$tr(A)={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$
矩阵的迹（主对角线和）等于所有特征值之和。