栈序列：合法与非法判定法则

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出栈序列的基本概念

非法出栈序列的充分必要条件

示例分析

数学判定法

关键结论

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出栈序列的基本概念

给定一个入栈序列（如1,2,3,...,n），出栈序列是指元素以某种顺序从栈中弹出的排列。并非所有排列都是合法的出栈序列，因此需要判定其合法性。

非法出栈序列的充分必要条件

条件1：违反栈的“后进先出”原则
若存在三个元素 ( i, j, k ) 在入栈序列中顺序为 ( i < j < k )，但在出栈序列中 ( k ) 先于 ( i ) 且 ( i ) 先于 ( j )，则该序列非法。即：

• 入栈顺序：( i         j        k  )
• 出栈顺序：( k        i        j  )

这种模式（( k, i, j )）直接违反栈的规则，因为 ( j ) 必须在 ( i ) 之后入栈，但 ( i ) 却在 ( j ) 之前出栈，而 ( k ) 又比 ( i ) 和 ( j ) 更早出栈。

条件2：模拟栈操作验证
通过模拟实际的入栈和出栈过程，可以验证序列的合法性：

1. 初始化一个空栈和指向入栈序列的指针（初始指向第一个元素）。
2. 遍历出栈序列，对于当前出栈元素：
   • 若栈顶元素等于当前出栈元素，则弹出栈顶。
   • 否则，将入栈序列中剩余元素依次压入栈，直到找到匹配元素。若入栈序列耗尽仍未找到，则序列非法。

若最终栈为空且所有出栈元素均被处理，则序列合法；否则非法。

示例分析

合法序列示例
入栈顺序：1, 2, 3, 4
出栈顺序：3, 2, 4, 1

• 操作步骤：
  1. 压入1, 2, 3，弹出3。
  2. 弹出2。
  3. 压入4，弹出4。
  4. 弹出1。
• 结果：栈为空，序列合法。

非法序列示例
出栈顺序：3, 1, 2, 4

• 操作步骤：
  1. 压入1, 2, 3，弹出3。
  2. 尝试弹出1，但栈顶为2，无法直接弹出1。
• 结果：未完成所有出栈操作，序列非法。

数学判定法

对于长度为 ( n ) 的序列，合法的出栈序列数量为卡特兰数 ( C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} )。若序列不满足卡特兰数的约束，则必然非法，但此方法仅适用于理论分析，实际操作中仍需依赖模拟或模式匹配。

关键结论

非法出栈序列的充分必要条件是：

• 存在至少一个违反“后进先出”原则的三元组（( k, i, j ) 模式）。
• 或通过模拟栈操作无法完成所有出栈步骤。