泛函 Φ(u) = ∫[(u″)² + u² + 2f(x)u]dx − (u′(0))² 在 u(0)=u(1) 下的驻点方程与边界条件

题目

问题 15. 写出泛函
$$\Phi (u)={\int }_0^1\left((u^{\prime \prime }{)}^2+u^2+2f(x)u\right)dx-(u^{\prime }(0){)}^2$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中边界条件为
$$u(0)=u(1).$$

解题过程

为了找到泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点，需要计算一阶变分 $$\delta \Phi =0$$。泛函包含高阶导数和一个点值项，因此需要使用变分法推导欧拉-拉格朗日方程和自然边界条件。

泛函为：
$$\Phi (u)={\int }_0^1\left((u^{\prime \prime }{)}^2+u^2+2f(x)u\right)dx-(u^{\prime }(0){)}^2$$
给定边界条件 $$u(0)=u(1)$$.

步骤 1: 计算一阶变分

令 $$L=(u^{\prime \prime }{)}^2+u^2+2f(x)u$$，则：
$$\Phi (u)={\int }_0^{1}Ldx-[u^{\prime }(0){]}^2$$
变分为：
$$\delta \Phi =\delta {\int }_0^{1}Ldx-\delta [u^{\prime }(0){]}^2$$
其中：
$$\delta {\int }_0^{1}Ldx={\int }_0^1\left(\frac{\partial L}{\partial u}\delta u+\frac{\partial L}{\partial u^{\prime }}\delta u^{\prime }+\frac{\partial L}{\partial u^{\prime \prime }}\delta u^{\prime \prime }\right)dx$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial L}{\partial u}=2u+2f(x),\frac{\partial L}{\partial u^{\prime }}=0,\frac{\partial L}{\partial u^{\prime \prime }}=2u^{\prime \prime }$$
所以：
$$\delta {\int }_0^{1}Ldx={\int }_0^1\left((2u+2f(x))\delta u+2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime \prime }\right)dx$$
对 $$2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime \prime }$$ 进行分部积分（处理高阶导数）：
$${\int }_0^{1}2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime \prime }dx={\left[2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime }\right]}_0^1-{\left[2u^{\prime \prime \prime }\delta u\right]}_0^1+{\int }_0^{1}2u^{(4)}\delta udx$$
因此：
$$\delta {\int }_0^{1}Ldx={\int }_0^1\left(2u+2f(x)+2u^{(4)}\right)\delta udx+{\left[2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime }\right]}_0^1-{\left[2u^{\prime \prime \prime }\delta u\right]}_0^1$$
另外：
$$\delta [u^{\prime }(0){]}^2=2u^{\prime }(0)\delta u^{\prime }(0),\text{所以}-\delta [u^{\prime }(0){]}^2=-2u^{\prime }(0)\delta u^{\prime }(0)$$
综合以上：
$$\delta \Phi ={\int }_0^1\left(2u+2f(x)+2u^{(4)}\right)\delta udx+{\left[2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime }\right]}_0^1-{\left[2u^{\prime \prime \prime }\delta u\right]}_0^1-2u^{\prime }(0)\delta u^{\prime }(0)$$
对于驻点，$$\delta \Phi =0$$ 对于所有允许的变分 $$\delta u$$。给定边界条件 $$u(0)=u(1)$$，因此变分 $$\delta u$$ 必须满足 $$\delta u(0)=\delta u(1)$$.

步骤 2: 推导欧拉-拉格朗日方程

由于 $$\delta u$$ 在 $$(0,1)$$ 内任意，积分项系数必须为零：
$$2u+2f(x)+2u^{(4)}=0$$
简化得：
$$u^{(4)}+u+f(x)=0$$
这是驻点必须满足的微分方程。

步骤 3: 推导边界条件

剩余边界项必须为零：
$${\left[2u^{\prime \prime }\delta u^{\prime }\right]}_0^1-{\left[2u^{\prime \prime \prime }\delta u\right]}_0^1-2u^{\prime }(0)\delta u^{\prime }(0)=0$$
展开：
$$2u^{\prime \prime }(1)\delta u^{\prime }(1)-2u^{\prime \prime }(0)\delta u^{\prime }(0)-2u^{\prime \prime \prime }(1)\delta u(1)+2u^{\prime \prime \prime }(0)\delta u(0)-2u^{\prime }(0)\delta u^{\prime }(0)=0$$
代入 $$\delta u(0)=\delta u(1)$$（记作 $$\delta u_b$$），整理：
$$2[u^{\prime \prime \prime }(0)-u^{\prime \prime \prime }(1)]\delta u(0)+2u^{\prime \prime }(1)\delta u^{\prime }(1)-2[u^{\prime \prime }(0)+u^{\prime }(0)]\delta u^{\prime }(0)=0$$
由于 $$\delta u(0)$$, $$\delta u^{\prime }(0)$$, 和 $$\delta u^{\prime }(1)$$ 独立，系数必须分别为零：

• $$u^{\prime \prime \prime }(0)-u^{\prime \prime \prime }(1)=0$$ 即 $$u^{\prime \prime \prime }(0)=u^{\prime \prime \prime }(1)$$
• $$u^{\prime \prime }(1)=0$$
• $$u^{\prime \prime }(0)+u^{\prime }(0)=0$$

此外，给定边界条件 $$u(0)=u(1)$$ 必须满足。

最终方程和边界条件

驻点满足以下方程和边界条件：

• 微分方程：
  $$u^{(4)}+u+f(x)=0,x\in (0,1)$$
• 边界条件：
  $$u(0)=u(1),u^{\prime \prime \prime }(0)=u^{\prime \prime \prime }(1),u^{\prime \prime }(1)=0,u^{\prime \prime }(0)+u^{\prime }(0)=0$$

这些是泛函 $$\Phi (u)$$ 在给定约束下的驻点所需满足的条件