【题解】P1548 [NOIP 1997 普及组] 棋盘问题

题目背景

NOIP1997 普及组第一题

题目描述

设有一个 $N\times M$ 方格的棋盘 $(1\le N\le 100,1\le M\le 100)$

求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。

例如：当 $N=2,M=3$ 时：

正方形的个数有 $8$ 个：即边长为 $1$ 的正方形有 $6$ 个；边长为 $2$ 的正方形有 $2$ 个。

长方形的个数有 $10$ 个：

即

• $2\times 1$ 的长方形有 $4$ 个：

• $1\times 2$ 的长方形有 $3$ 个：

• $3\times 1$ 的长方形有 $2$ 个：

• $3\times 2$ 的长方形有 $1$ 个：

输入格式

一行两个整数 $N,M$。

输出格式

一行两个整数，表示正方形的个数与长方形的个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 3

输出 #1

8 10

题目分析

题目需要我们统计$n\times m$ 方格的棋盘中正方形、长方形（不包括正方形）的个数。

可以考虑枚举所有可能的长、宽，相等为正方形，剩余的就是长方形。整体时间复杂度为$O(nm)$。

也可以考虑优化一下，枚举所有可能的正方形边长，根据边长计算对应的正方形个数。对于长方形个数，则可以通过总数减去正方形个数进行获取。

对于边长为$x(1\le x\le \min (n,m))$的正方形，个数为 $(n-x+1)\times (m-x+1)$。

对于矩形可以视为由水平、垂直两个方向各选两条线构成的图形。$n\times m$ 方格的棋盘，长宽各有 $n+1$和$m+1$条线，故矩形总数为 $C_{n+1}^2\times C_{m+1}^2$ 即$\frac{(n+1)\times n}{2}\times \frac{(m+1)\times m}{2}$ 。

利用数学性质，整体复杂度可以降为 $O(n)$。

代码实现

复杂度O(nm)写法

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n,cnt1,cnt2;    
int main(){cin>>m>>n;           for(int i=0;i<=m;i++){for(int j=0;j<=n;j++){for(int k=i+1;k<=m;k++){for(int l=j+1;l<=n;l++){if(k-i==l-j){//如果长和宽相等，及正方形 cnt1++;	}else{//不相等就是长方形 cnt2++;	} } }}}   cout<<cnt1<<" "<<cnt2;  return 0;	        	    
}

复杂度O(n)写法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
const int N = 1e5 + 5;
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int n,m;int sum1=0,sum2=0;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=min(n,m);i++){sum1+=(n-i+1)*(m-i+1);}sum2=(n*(n+1)/2)*(m*(m+1)/2)-sum1;cout<<sum1<<" "<<sum2;return 0;
}