【课堂笔记】复变函数-1

分析基础

设$(X,d)$是度量空间，$N\subset X$是子集，则$(N,d)$也是度量空间
定义直径：
$$\text{diam}X=\underset{x,y\in X}{\sup }d(x,y)$$
集合$X$被称为有界的(bounded)，如果$\text{diam}X<+\infty$
序列极限：序列$(x_n)\to x$，当$d(x_n,x)\to 0$
序列$(x_n)$被称为柯西的(Cauchy)，当$$\forall ϵ>0,\exists N>0,\forall n\ge m\ge N,d(x_n,x_m)<ϵ$$

集合$X$被称为完备的(complete)，当任意柯西序列是收敛的。
定义符号：

• $N^o$：集合内部(interior)
• $\overline{N}$：集合闭包(closure)
• $\partial N:=\overline{N}\setminus N^o$：集合边界

点$x\in X$被称为$N$的极限点(limit)，当$x\in \overline{N}$（等价定义$\exists (x_n),x_n\in N,x_n\to x$）
$x\in X$被称为孤立的(isolated)，如果存在开球$B(x,r)$满足X∩B(x,r)={x}X \cap B(x, r) = \set{x}X∩B(x,r)={x}
称集合$X$是连通的(connected)，如果$X$不能被写成两个不交、非空开集的并。

紧性

$X$的开覆盖(open cover)是开集的并，使得$X=\bigcup _{\alpha }{U}_{\alpha }$
$X$被称为完全有界的(totally bounded)，当$\forall ϵ>0$，存在有限的使用半径为$ϵ$的开球组成的开覆盖，即$X=\bigcup _{\alpha }B(x_{\alpha },r_{\alpha })$。显然完全有界比有界条件更强。

$X$被称为紧的(compact)当任意$X$的开覆盖有有限子覆盖。

定理2.1

度量空间$X$是紧的，当且仅当$X$是完全有界的且完备的。

证明：充分性：假设$X$是紧的，如果$X$不是完备的，则存在一个柯西序列$(x_n)$不收敛。
即对$\forall y\in X$，$x_n$不收敛到$y$，则存在常数$r>0$，满足$U_y:=B(y,r)$，使得$U_r$只包含有限个$x_n$。
我们有开覆盖{Uy}y∈X\set{U_y}_{y\in X}{Uy​}y∈X​，因为$X$是紧的，所以存在有限子覆盖$X=\bigcup _{y\in F}{U}_y$。
特别的，$x_n\in \bigcup _{y\in F}{U}_y$，于是序列$(x_n)$的取值集合{xn}\set{x_n}{xn​}是有限的。
又由于$(x_n)$是柯西的（结合有限取值），所以$(x_n)$是收敛的，矛盾。因此$X$完备。

对任意$ϵ>0,y\in X$，{Uy=B(y,ϵ)}y∈X\set{U_y=B(y, \epsilon)}_{y \in X}{Uy​=B(y,ϵ)}y∈X​是开覆盖。
因为$X$是紧的，所以存在有限子集$F$，使得X={Uy}y∈FX = \set{U_y}_{y \in F}X={Uy​}y∈F​，所以$X$是完全有界的。

必要性：假设$X$是完备的且完全有界的，而$X$不是完备的。
则存在开覆盖{Uα}α∈A\set{U_\alpha}_{\alpha \in A}{Uα​}α∈A​，满足对任意有限集合$F\subset A$，$X\ne \bigcup _{\alpha \in F}{U}_{\alpha }$
由完全有界性，$X=\bigcup _{x\in F}B(x,1)$，因为$F$是有限集。
考虑所有$F$中的索引集合$E$，使得$B(x,1)\ne \bigcup _{\alpha \in E}{U}_{\alpha }\cap B(x,1)$。
于是存在$x_0$，使得$B(x_0,1)$不能被有限多的$U_{\alpha }$覆盖。
进行同样的操作，存在$x_1\in B(x_0,1)$，使得$B(x_1,2^{-1})$不能被有限多的$U_{\alpha }$覆盖。
通过归纳，我们可以得到序列$(x_n)$，其中$d(x_n,x_{n+1})\le 2^{-n}$，从而$(x_n)$是柯西的。
进一步的，$B(x_n,2^{-n})$不能被有限多个$U_{\alpha }$覆盖。
因为$X$是完备的，$\exists y\in X,x_n\to y$
设$U$是开集，满足$U$是{Uα}\set{U_\alpha}{Uα​}中的某一个，而$y\in U$。则对足够大的$n$，有$B(x_n,2^{-n})\subset U$。矛盾！
于是$X$是完备的。

定理2.2

度量空间$X$是紧的，当且仅当任意$X$中的序列有一个收敛子序列（序列紧的）

连续性

两个度量空间之间的映射$f:X\to Y$被称为连续的，当任意集合$U\subset Y$，$f^{-1}(U)$是开的。
同伦(homeomorphism)：$f:X\to Y$是连续的，且$f^{-1}$也是连续的。

引理3.1

设$f:X\to Y$是连续的，当且仅当任意$X$中的序列$(x_n)$，$x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$

定理3.2

$f:X\to Y$是连续映射，取$K\subset X$是紧集，则$f(K)$也是$Y$中的紧集。

证明：任意$f(K)$的开覆盖{Vα}\set{V_\alpha}{Vα​}引导了$K$上的开覆盖$U_{\alpha }=f^{-1}V\alpha$
因为$K$是紧的，所以存在有限集合$F$，满足$K=\bigcup _{\alpha \in F}{U}_{\alpha }$。于是$f(K)=\bigcup _{\alpha \in F}{V}_{\alpha }$，于是$f(K)$是紧的。

定理3.3

如果$f:X\to Y$是连续的，$X$是连通的，则$Y$也是连通的。

定理3.4

如果$f:X\to Y$是连续的，$X$是紧的，则$f$是一致连续的。

路径连通 & 同伦

一个$\mathbb{C}$上的路径是一个连续映射$\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$
一个子集$S\subset \mathbb{C}$被称为路径连通的(path-connected)，当且仅当对任意$z,w\in S$，存在路径$\gamma :[a,b]\to S$，使得$\gamma (a)=z,\gamma (b)=w$

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，则$U$是连通的，当且仅当$U$是路径连通的。（闭集不一定成立）

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，设${\gamma }_0:[a,b]\to U$，${\gamma }_0,{\gamma }_1:[a,b]\to U$是两条曲线，${\gamma }_0(a)={\gamma }_1(a),{\gamma }_0(b)={\gamma }_1(b)$，它们之间的同伦(homotopy)定义为一个连续映射：
$$H:[0,1]\times [a,b]\to U$$

满足$H(0,t)={\gamma }_0(t),H(1,t)={\gamma }_1(t)$
称${\gamma }_0,{\gamma }_1$是同伦的(homotopic)，如果存在这样的$H$。

设$U\subset \mathbb{C}$是连通开集，$U$被称为简单连通的(simply connected)，如果任意$U$中的两条路径（同起点和终点）都是同伦的。

复数基础

引入数$i$，满足$i^2+1=0$，复数形如$a+bi,a,b\in \mathbb{R}$，复平面C={z=a+bi,a,b∈R}\mathbb{C}=\set{z=a+bi, a, b \in \mathbb{R}}C={z=a+bi,a,b∈R}，记$\text{Re}(z)=a,\text{Im}(z)=b$

定义加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
定义乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$，可验证满足分配律和交换律（使用$i^2=-1$）
定义复共轭：$\overline{z}=a-bi$，可验证满足：

• $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
• $\overline{zw}=\overline{z}\cdot \overline{w}$

推论：考虑多项式方程$a_n{z}^n+...+a_0=0$，如果$z$是根，那么$\overline{z}$是方程$\overline{a_n}{z}^n+...+\overline{a_0}=0$的根。

定义绝对值：$|z|:=\sqrt{z\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$，可以验证：

• $|zw|=|z|\cdot |w|$
• $|z+w{|}^2+|z-w{|}^2=2(|z{|}^2+|w{|}^2)$

定义除法：$\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{z\overline{w}}{|w{|}^2}\in \mathbb{C}$

同时取$z=1$，我们定义了逆$w^{-1}$存在。

综上，复平面$\mathbb{C}$构成一个域。

常用不等式

• $-|z|\le \text{Re}z\le |z|$, $-|z|\le \text{Im}z\le |z|$
• $|z+w|\le |z|+|w|$, $|z+w|\ge \left||z|-|w|\right|$
• 柯西不等式：${\left|\underset{k=1}{\sum ^n}{z}_k{w}_k\right|}^2\le \left(\underset{k=1}{\sum ^n}|z_k{|}^2\right)\left(\underset{k=1}{\sum ^n}|w_k{|}^2\right)$，当$\exists t\in \mathbb{C}$，$\forall 1\le k\le n,z_k+t\overline{w_k}=0$时取等。