数据结构基础--散列表

数据结构基础——散列表（17）

散列表的定义

散列表（哈希表，Hash Table）：是一种数据结构。特点是：可以根据数据元素的关键字计算出它在散列表中的存储地址

散列函数（哈希函数）：$$\text{Addr=H(key)}$$建立了 “关键字”→“存储地址” 的映射关系。

理想情况下，在散列表中查找一个元素的时间复杂度为O(1)

冲突、同义词：

冲突（碰撞）：在散列表中插入一个数据元素时，需要根据关键字的值确定其存储地址，若该地址已经存储了其他元素，则称这种情况为 “冲突（碰撞）”

同义词：若不同的关键字通过散列函数映射到同一个存储地址，则称它们为 “同义词”

Q : 如何减少“冲突”？

A : 构造更合适的散列函数，让各个关键字尽可肯地映射到不同的存储位置，从而减少“冲突”

Q : 若”冲突“无可避免，如何处理冲突

A : 用拉链法或者开放定址法

• 拉链法（又称链接法、链地址法）：把所有”同义词“存储在一个链表中

• 开放定址法：如果发生”冲突“，就给新元素找另一个空闲位置

散列函数的构造

散列函数的构造常用方法：

除留余数法（最常用）

直接定址法

数字分析法

平方取中法

散列函数（哈希函数）：$$\text{Addr=H(key)}$$建立了 “关键字”→“存储地址” 的映射关系。

设计散列函数需要注意的问题

1. 定义域必须涵盖所有可能出现的关键字。
2. 值域不能超出散列表的地址范围。
3. 尽可能减少冲突。散列函数计算出来的地址应尽可能均匀分布在整个地址空间。
4. 散列函数应尽量简单，能够快速计算出任意一个关键字对应的散列地址。

除留余数法

质数的定义：

质数（又称素数）是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

除留余数法 —— $\text{H(key)}=\text{key}\%\text{p}$

散列表表长为 m，取一个不大于 m 但最接近或等于 m 的质数 p

适用场景：较为通用，只要关键字是整数即可

例：散列表表长 (m = 13)。13 是质数，因此可令散列函数 $\text{H(key)}=\text{key}\%13$

PS:注意一定取一个不大于 m 但最接近或等于 m 的质数 p

原因：对质数取余，可以分布更均匀，从而减少冲突

直接定址法

直接定址法 —— $\text{H(key)}=\text{key}$ 或 $\text{H(key)}=\text{a*key + b}$ 其中，a 和 b 是常数。这种方法计算最简单，且不会产生冲突。若关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间的浪费。

适用场景：关键字分布基本连续

数字分析法

数字分析法 —— 选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址

设关键字是 r 进制数（如十进制数），而 r 个数码在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布均匀一些，每种数码出现的机会均等；而在某些位上分布不均匀，只有某几种数码经常出现，此时可选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址。

适用场景：关键字集合已知，且关键字的某几个数码位分布均匀

平方取中法

平方取中法 —— 取关键字的平方值的中间几位作为散列地址。
具体取多少位要视实际情况而定。这种方法得到的散列地址与关键字的每位都有关系，因此使得散列地址分布比较均匀。

适用场景：关键字的每位取值都不够均匀。

拉链法

拉链法（又称链接法、链地址法）：把所有 “同义词” 存储在一个链表中

散列表的插入操作

如何在散列表（拉链法解决冲突）中插入一个新元素？

S 1：结合散列函数计算新元素的散列地址
S 2：将新元素插入散列地址对应的链表（可用头插法，也可用尾插法）

散列表的查找操作

S 1：根据散列函数计算目标元素的散列地址
S 2：顺序查找散列地址对应的链表，直到查找成功或查找失败

在分析查找长度时，通常只统计 “关键字的对比次数”，而链表 “空指针的对比次数” 不计入查找长度

散列表的删除操作

S 1：根据散列函数计算目标元素的散列地址
S 2：顺序查找散列地址对应的链表，若查找成功，将目标元素从链表中删除

开放定址法

开放定址法的常用方法：

线性探测法

平方探测法

双散列法

伪随机序列法

开放定址法：如果发生”冲突“，就给新元素找另一个空闲位置

Q : 用什么规则确定“另一个空闲位置”

A ：需确定一个“探测的顺序”，从初始化散列表地址出发，去寻找下一个空闲位置。

$eg$ :$d_0=0$,$d_1=1$,$d_2=-1$,$d_3=2$,$d_4=-2$

注意：$d_i$表示第 i 次发生冲突时，下一个探测地址与初始化散列表地址的相对偏移量

注意 ： 0 < = i <= m - 1

$H_i=(H(\text{key})+d_i)\%m$

$H_i$为发生第 i 次冲突时的散列地址

$d_i$为偏移量

$m$为散列表表长

$H(\text{key})$为初始化散列地址

查找操作原理类似，根据探测序列依次对比各存储单元内的关键字

若探测到目标关键字，则查找成功。

若探测到空单元，则查找失败。

散列表的删除操作

步骤：

S 1：先根据散列函数算出散列地址，并对比关键字是否匹配。若匹配，则 “查找成功”
S 2：若关键字不匹配，则根据 “探测序列” 对比下一个地址的关键字，直到 “查找成功” 或 “查找失败”
S 3：若 “查找成功”，则删除找到的元素

1. 注：采用 “开放定址法” 时，删除元素不能简单地将被删元素的空间置为空，否则将截断在它之后的探测路径，可以做一个 “已删除” 标记，进行逻辑删除。
2. 注：无论线性探测法、平方探测法、双散列法、伪随机序列法原理都一样。删除元素时，只能逻辑删除

采用 “开放定址法” 删除时，会u带来查找效率低下，散列表看起来很慢，但是实际很空，我们可以采取不定期整理散列表内的数据这个方法来解决问题

散列查找的性能分析

（以线性探测法为例）

**成功查找的平均查找长度（ASL）**ASL成功
$${\text{ASL}}_{\text{成功}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{C}_i$$
其中，n 为散列表中已存在的元素个数，(C_i) 为成功查找第 i 个元素所需的比较次数

**失败查找的平均查找长度（ASL）**ASL失败
$${\text{ASL}}_{\text{失败}}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{C}_i$$

其中，r 为散列函数取值的个数，$$C_i$$ 为散列函数取值为 i 时查找失败的比较次数

特别注意：散列函数取值的个数、散列表长度可能不相同

装填因子

散列表的装填因子：$$\alpha =\frac{\text{表中记录数}n}{\text{散列表长度}m}$$,反映了一个散列表“满”的程度

装填因子越大，越容易发生冲突。从而导致插入、查找操作效率降低，ASL 增大

聚集（堆积）现象

聚集（堆积）现象：在处理冲突的过程中，几个初始散列地址不同的元素争夺同一个后继散列地址的现象称作 “聚集”（或称作 “堆积”）

线性探测法在发生冲突时，总是往后探测相邻的后一个单元，很容易造成同义词、非同义词的 “聚集（堆积）现象”，从而影响查找效率，导致 ASL 提升

结论：采用线性探测法处理冲突更容易导致 “聚集（堆积）现象”，用其他方法处理冲突可以将元素 “打散”，从而减少 “聚集（堆积）现象”