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每日一算：打家劫舍

news 2025/9/13 5:40:47

“打家劫舍” 是动态规划领域的经典入门题，核心矛盾是 “不能偷窃相邻房屋”，目标是找到偷窃的最高金额。本文将从问题本质出发，拆解两种主流解题思路（动态规划、空间优化），并附上 C++ 实现，帮助你理解 “状态转移” 的核心思想。

一、问题重述

题目要求

给定非负整数数组 nums，每个元素代表一间房屋的现金金额。不能同时偷窃相邻房屋（否则触发警报），计算一夜内能偷窃到的最高金额。

示例理解

示例 1：nums = [1,2,3,1]
可选方案：偷第 1+3 间（1+3=4）或第 2+4 间（2+1=3），最高金额为 4。
示例 2：nums = [2,7,9,3,1]
最优方案：偷第 1+3+5 间（2+9+1=12），最高金额为 12。

二、核心思路：动态规划的 “状态转移”

问题的关键是用历史状态推导当前状态：对于第 i 间房屋，只有两种选择 ——“偷” 或 “不偷”，这两种选择对应不同的前序状态。

状态定义

设 dp[i] 为 “偷窃前 i 间房屋的最高金额”（i 从 0 开始，对应 nums[0] 到 nums[i-1]）。

状态转移方程

不偷第 i 间房屋：最高金额等于偷前 i-1 间的最高金额，即 dp[i] = dp[i-1]；
偷第 i 间房屋：不能偷第 i-1 间，最高金额等于偷前 i-2 间的金额 + 第 i 间的金额，即 dp[i] = dp[i-2] + nums[i-1]（nums[i-1] 是第 i 间的金额，因数组索引从 0 开始）。

最终，dp[i] 取两种选择的最大值：
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1])

边界条件

dp[0] = 0：没有房屋可偷，金额为 0；
dp[1] = nums[0]：只有 1 间房屋，偷它的金额。

三、解题思路与实现

思路 1：标准动态规划（清晰易懂）

按照上述状态定义和转移方程，用数组存储所有中间状态，适合初学者理解。

步骤拆解

处理特殊情况（数组长度为 0 或 1）；
初始化 dp 数组，长度为 nums.size() + 1；
遍历数组，按状态转移方程计算 dp[i]；
返回 dp[nums.size()]（偷完所有房屋的最高金额）。

C++ 实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于 max 函数using namespace std;class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 特殊情况：没有房屋或只有1间房屋if (n == 0) return 0;if (n == 1) return nums[0];// dp[i]：偷前i间房屋的最高金额vector<int> dp(n + 1);// 边界条件dp[0] = 0;dp[1] = nums[0];// 遍历计算 dp[2] 到 dp[n]for (int i = 2; i <= n; ++i) {// 状态转移：不偷第i间（dp[i-1]） vs 偷第i间（dp[i-2] + nums[i-1]）dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1]);}return dp[n];}
};// 测试代码
int main() {Solution sol;// 示例1vector<int> nums1 = {1,2,3,1};cout << "示例1输出：" << sol.rob(nums1) << endl; // 4// 示例2vector<int> nums2 = {2,7,9,3,1};cout << "示例2输出：" << sol.rob(nums2) << endl; // 12// 特殊测试用例：全0vector<int> nums3 = {0,0,0};cout << "全0测试输出：" << sol.rob(nums3) << endl; // 0return 0;
}

思路 2：空间优化（O (1) 空间）

观察状态转移方程，dp[i] 只依赖 dp[i-1] 和 dp[i-2]，无需存储整个 dp 数组，只需用两个变量记录前两个状态即可，空间复杂度从 O (n) 降至 O (1)。

步骤拆解

处理特殊情况（数组长度为 0 或 1）；
用 prev_prev 记录 dp[i-2]（前两间的最高金额），prev 记录 dp[i-1]（前一间的最高金额）；
遍历数组，计算当前最高金额 curr = max(prev, prev_prev + nums[i])；
更新 prev_prev 和 prev，继续遍历；
返回 prev（遍历结束后，prev 对应 dp[n]）。

C++ 实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;class Solution {
public:int rob(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n == 0) return 0;if (n == 1) return nums[0];// prev_prev：对应 dp[i-2]，prev：对应 dp[i-1]int prev_prev = 0;   // 初始 dp[0] = 0int prev = nums[0];  // 初始 dp[1] = nums[0]// 遍历从第2间房屋（nums[1]）开始for (int i = 1; i < n; ++i) {// 当前最高金额 = max(不偷当前间（prev）, 偷当前间（prev_prev + nums[i]）)int curr = max(prev, prev_prev + nums[i]);// 更新前两个状态：prev_prev 移到 prev，prev 移到 currprev_prev = prev;prev = curr;}return prev; // 最终 prev 是 dp[n]}
};// 测试代码
int main() {Solution sol;vector<int> nums1 = {1,2,3,1};cout << "示例1输出：" << sol.rob(nums1) << endl; // 4vector<int> nums2 = {2,7,9,3,1};cout << "示例2输出：" << sol.rob(nums2) << endl; // 12// 测试用例：长度为2vector<int> nums3 = {5,10};cout << "长度2测试输出：" << sol.rob(nums3) << endl; // 10return 0;
}