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线性代数 | 行列式与矩阵区别

news 2025/9/13 5:37:49

注：本文为 “性代数 | 行列式与矩阵” 相关合辑。
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略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

行列式和矩阵有何区别

务虚学派发布于 2021-11-17 11:31

行列式与矩阵的区别主要体现在以下四个方面：

本质区别：矩阵是一个数表，而行列式是一个数值，定义在 $n$ 阶方阵上。
符号区别：矩阵通常用括号 $()$ 或方括号 $[]$ 表示，行列式则用双竖线 $∣∣$ 表示。
结构区别：矩阵的行数和列数可以不同，即可以是 $\times n$ 的形式；而行列式的行数与列数必须一致，即为 $\times n$ 的方阵。
运算区别：
- 一个数乘以行列式，只能乘以行列式的一行或一列；而一个数乘以矩阵时，矩阵的每个元素都要乘以这个数。
- 两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等则不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不同，只要其运算结果的代数和相等即可。行列式相等意味着其值相等，而行和列的数目不必相等，数据也不必相等。矩阵相等则要求行和列的数目必须相等，且对应位置的数据也必须相等。
- 行列式相加减是两个数值的相加减，结果仍为数值；矩阵相加减则是对应位置的数据相加减。

矩阵：是高等代数学中的常见工具，广泛应用于线性代数、线性方程组的求解、线性变换等领域。
矩阵也常见于统计分析、计算机科学、物理学等应用数学学科中。
行列式：可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
它在判断矩阵的可逆性、计算多变量函数的雅可比行列式等方面具有重要作用。

发布于 2021-11-17 11：31

矩阵与方阵行列式之间的联系与区别

万物皆有源发布于 2023-03-08 07：27・福建

一、行列式的定义

行列式的定义如下：

由上述定义可知，行列式是一个 $n$ 行 $n$ 列的数表，但该数表具有确定的运算规则，因此行列式实际上代表一个数字。

从上述两个图可以看出，行列式的结构代表一个数字。

二、矩阵的定义

矩阵的定义如下：

由上述定义可知，矩阵是由数字排列成的表格，其本身不包含任何运算规则。

从上述两个图可以看出，矩阵的加减和乘法定义之后，矩阵就可以进行运算了，但与行列式相比，矩阵的运算是在不同的矩阵之间进行的。

三、矩阵和行列式之间的联系

（一）通过伴随矩阵建立联系

从上图可以看出，矩阵和行列式之间的联系通过伴随矩阵得以建立。

以上是伴随矩阵和行列式之间的具体联系，当然，矩阵首先要是方阵才有行列式。

（二）通过可逆矩阵建立联系

除了伴随矩阵，矩阵和行列式还通过可逆矩阵进行联系：

以上是可逆矩阵和行列式的具体联系。

四、简单总结

行列式本身是一个数字，它代表符合某种运算规则的数字集合。
矩阵只是一个数字表格，本身不代表任何运算。
矩阵的加减和乘法运算是在不同的矩阵之间进行的。
只有当矩阵是方阵的时候才有行列式。矩阵和行列式之间的联系通过伴随矩阵和可逆矩阵建立。

行列式与矩阵的概念及运算

一、引言

在高等代数与线性代数的知识体系中，行列式（Determinant）与矩阵（Matrix）是两个基础概念。二者在形式上存在一定关联（如仅方阵对应行列式），但在本质定义、结构特征、运算规则及应用场景上存在根本差异。混淆二者易导致对线性代数逻辑的理解偏差，因此本章将从概念本质到实际应用，系统梳理行列式与矩阵的区别与关联，建立清晰的知识框架。

二、本质定义：“数值函数” 与 “矩形数表” 的差异

行列式与矩阵的根本区别在于数学本质不同，这直接决定了二者的属性与功能差异。

2.1 矩阵（Matrix）的本质

矩阵是由 $m$ 行（row）和 $n$ 列（column）元素构成的矩形数表，核心属性是 “数据的结构化载体”，不直接对应某个具体数值。
设矩阵 $A\boldsymbol {A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_{ij}$ （其中 $i=1,2,…,mi=1,2,\dots,m$ ； $j=1,2,…,nj=1,2,\dots,n$ ），其一般形式记为：
$A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)\boldsymbol {A} = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end {pmatrix}$
可简化表示为 $Am×n\boldsymbol {A}_{m \times n}$ 或 $(aij)m×n(a_{ij})_{m \times n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 分别表示行数与列数，二者可相等（此时为方阵）或不相等（如行矩阵、列矩阵）。

2.2 行列式（Determinant）的本质

行列式是定义在 $n$ 阶方阵（行数 = 列数 = $n$ ）上的数值函数，核心属性是 “通过特定规则提取的数值”，仅能对 $n$ 阶方阵定义（非方阵无行列式）。
设 $n$ 阶方阵 $A=(aij)n×n\boldsymbol {A} = (a_{ij})_{n \times n}$ ，其行列式记为 $det⁡(A)\det (\boldsymbol {A})$ 或 $∣A∣|\boldsymbol {A}|$ ，计算规则通过 “按行 / 列展开” 定义：
对第 $i$ 行展开，行列式的数值为：
$det⁡(A)=∑j=1naijAij\det (\boldsymbol {A}) = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$
其中 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式， $M_{ij}$ 称为余子式（即划去 $A\boldsymbol {A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列后，剩余 $n - 1$ 阶方阵的行列式）。

例如，2 阶行列式的计算可直接由上述规则推导：
$∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end {vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

三、结构特征与表示符号

行列式与矩阵的外观形式和结构约束存在严格区分，是二者最直观的差异。

3.1 表示符号的区别

矩阵：始终使用圆括号（ $()(\quad)$ ）或方括号（ $[][\quad]$ ）包裹元素，例如：
2×3 矩阵 $B=(123456)\boldsymbol {B} = \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {pmatrix}$ ，3×1 列矩阵 $C=[789]\boldsymbol {C} = \begin {bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end {bmatrix}$ 。
行列式：始终使用双竖线（ $∣∣|\quad|$ ）包裹元素，且仅能包裹 $n$ 阶方阵的元素，例如：
2 阶行列式 $∣1234∣=−2\begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {vmatrix} = -2$ ，3 阶行列式 $∣100020003∣=6\begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end {vmatrix} = 6$ 。

3.2 结构约束的区别

对比维度	矩阵（Matrix）	行列式（Determinant）
行 / 列数关系	行数 $m$ 与列数 $n$ 可相等或不相等	行数 = 列数 = $n$ （仅 $n$ 阶方阵可定义）
维度描述	用 “ $\times n$ ” 描述（如 2×3 矩阵）	用 “ $n$ 阶” 描述（如 3 阶行列式）
特殊类型	行矩阵（1×n）、列矩阵（m×1）、方阵（n×n）	仅分 “ $n$ 阶”，无其他结构类型
存在性约束	任意正整数 $m, n$ 均存在 $m \times n$ 矩阵	非方阵（ $m \neq = n$ ）无行列式

四、运算规则的系统对比

行列式与矩阵的运算逻辑完全不同：行列式的运算本质是 “数值运算”，结果为单值；矩阵的运算本质是 “数表运算”，结果多为新矩阵（或向量、秩等）。以下从运算类型展开对比。

4.1 数乘运算（常数与行列式 / 矩阵的乘法）

矩阵的数乘：常数 $k$ 作用于矩阵的所有元素，结果为新矩阵。
设 $A=(aij)m×n\boldsymbol {A} = (a_{ij})_{m \times n}$ ，则：
$kA=(ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋱⋮kam1kam2⋯kamn)k\boldsymbol {A} = \begin {pmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k a_{m1} & k a_{m2} & \cdots & k a_{mn} \end {pmatrix}$
例： $\times \begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end {pmatrix}$ 。
行列式的数乘：常数 $k$ 仅作用于行列式的某一行（或某一列），本质是常数与行列式数值的乘法。
设 $det⁡(A)\det (\boldsymbol {A})$ 为 $n$ 阶行列式，则：
$\cdot \det (\boldsymbol {A}) = \begin {vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k a_{i1} & k a_{i2} & \cdots & k a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix}$
例： $\times \begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end {vmatrix} = -4$ （仅第 1 行乘 2）。

4.2 相等判定

矩阵相等：需同时满足两个条件：

行数、列数完全相同（即 “同型矩阵”）；
所有对应位置的元素相等（ $a_{ij} = b_{ij}$ 对所有 $i, j$ 成立）。
记为 $A=B\boldsymbol {A} = \boldsymbol {B}$ ，例如 $(1234)≠(1235)\begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {pmatrix} \neq \begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end {pmatrix}$ （元素 $a22≠b22a_{22} \neq b_{22}$ ）。

行列式相等：仅需满足 “运算结果的数值相等”，无需行数 / 列数或对应元素相等。
记为 $det⁡(A)=det⁡(B)\det (\boldsymbol {A}) = \det (\boldsymbol {B})$ ，例如 $∣1234∣=−2\begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {vmatrix} = -2$ ， $∣100−2∣=−2\begin {vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end {vmatrix} = -2$ ，故二者相等。

4.3 加减运算

矩阵的加减：仅同型矩阵可加减，结果为对应元素相加减的新矩阵。
设 $A=(aij)m×n\boldsymbol {A} = (a_{ij})_{m \times n}$ ， $B=(bij)m×n\boldsymbol {B} = (b_{ij})_{m \times n}$ ，则：
$A±B=(a11±b11a12±b12⋯a1n±b1na21±b21a22±b22⋯a2n±b2n⋮⋮⋱⋮am1±bm1am2±bm2⋯amn±bmn)\boldsymbol {A} \pm \boldsymbol {B} = \begin {pmatrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \cdots & a_{1n} \pm b_{1n} \\ a_{21} \pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \cdots & a_{2n} \pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2} \pm b_{m2} & \cdots & a_{mn} \pm b_{mn} \end {pmatrix}$
例： $(1234)+(5678)=(681012)\begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end {pmatrix}$ 。
行列式的加减：本质是两个数值的加减，结果为单值，无需考虑行列式的阶数。
设 $det⁡(A)=x\det (\boldsymbol {A}) = x$ ， $det⁡(B)=y\det (\boldsymbol {B}) = y$ ，则 $det⁡(A)±det⁡(B)=x±y\det (\boldsymbol {A}) \pm \det (\boldsymbol {B}) = x \pm y$ 。
例： $∣1234∣+∣100−2∣=−2+(−2)=−4\begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {vmatrix} + \begin {vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end {vmatrix} = -2 + (-2) = -4$ 。

4.4 其他关键运算差异

运算类型	矩阵（Matrix）	行列式（Determinant）
乘法运算	需满足 “前矩阵列数 = 后矩阵行数”，结果为新矩阵（如 $m \times n$ 矩阵 × $n \times p$ 矩阵 = $m \times p$ 矩阵）	无 “行列式乘法”，直接按数的乘法计算（如 $det⁡(A)×det⁡(B)=xy\det (\boldsymbol {A}) \times \det (\boldsymbol {B}) = xy$ ）
逆运算	仅 $n$ 阶可逆方阵（ $det⁡(A)≠0\det (\boldsymbol {A})≠0$ ）有逆矩阵 $A−1\boldsymbol {A}^{-1}$ ，满足 $AA−1=E\boldsymbol {A}\boldsymbol {A}^{-1} = \boldsymbol {E}$ （ $E\boldsymbol {E}$ 为单位矩阵）	无 “逆行列式”，仅数值的逆（ $1/det⁡(A)1/\det (\boldsymbol {A})$ ），属于数的运算
秩的概念	矩阵的秩是 “非零子式的最高阶数”，是矩阵的核心属性（如 2×3 矩阵的秩最大为 2）	无 “秩” 的概念，仅通过行列式判断矩阵的秩（如 $n$ 阶方阵秩为 n ⇨ $det⁡(A)≠0\det (\boldsymbol {A})≠0$ ）

五、高阶行列式与高阶矩阵的计算差异

当阶数 / 维度 $n \geq 3$ 时，行列式与矩阵的计算方法和目标进一步分化，具体差异如下。

5.1 高阶行列式的计算（目标：求数值 / 多项式）

高阶行列式（ $n \geq 3$ ）的核心思路是**“降阶” 或 “化简为特殊形式”**，避免直接使用复杂度极高的莱布尼茨公式（ $O (n!)$ 复杂度）。常用方法包括：
1.展开定理：选择元素含 0 较多的行 / 列，按该行 / 列展开为低阶行列式（如 3 阶行列式展开为 2 阶行列式）；

2.三角化：利用行列式性质（如行变换）将其化为 “上三角行列式” 或 “下三角行列式”，此时行列式值等于主对角线元素的乘积（例： $∣123045006∣=1×4×6=24\begin {vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end {vmatrix} = 1×4×6 = 24$ ）；

3.特殊公式：如范德蒙德行列式（适用于元素为幂次形式的行列式）、分块行列式法则（适用于分块对角 / 三角矩阵）。

5.2 高阶矩阵的计算（目标：变换 / 衍生新结构）

高阶矩阵（ $m, n \geq 3$ ）的计算围绕 “数表操作” 展开，核心是通过变换或运算提取有用信息，常用方法包括：

1.初等行变换：将矩阵化为 “行阶梯形矩阵”（用于求秩、解线性方程组）或 “行最简形矩阵”（用于求逆矩阵、向量组的极大无关组）；

2.矩阵分解：如 LU 分解（拆分为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ ，用于快速求解线性方程组）、QR 分解（拆分为正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $R$ ，用于特征值计算）；

3.特征值与特征向量：通过求解特征方程 $det⁡(A−λE)=0\det (\boldsymbol {A} - \lambda \boldsymbol {E}) = 0$ 得到特征值 $λ\lambda$ ，再解方程组 $(A−λE)x=0(\boldsymbol {A} - \lambda \boldsymbol {E})\boldsymbol {x} = \boldsymbol {0}$ 得到特征向量，用于主成分分析、振动分析等场景。

六、应用领域的分化

行列式与矩阵的应用场景由其本质决定：行列式是 “方阵性质的量化工具”，矩阵是 “线性关系的载体”。

6.1 矩阵的应用

矩阵是线性代数的 “基础运算单元”，广泛应用于需描述线性关系的领域：

线性方程组求解：将方程组 $Ax=bA\boldsymbol {x} = \boldsymbol {b}$ 转化为矩阵形式，通过行变换或矩阵求逆求解；
线性变换表示：如平面旋转、空间拉伸等线性变换，可通过矩阵乘法实现（例：旋转 $θ\theta$ 角的矩阵为 $(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin {pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end {pmatrix}$ ）；
数据科学与工程：主成分分析（PCA）中的数据降维、图像处理中的像素变换、机器学习中的模型参数求解（如线性回归的正规方程）。

6.2 行列式的应用

行列式的价值在于 “通过数值反映方阵性质”，应用多作为矩阵分析的辅助工具：

判断方阵可逆性： $n$ 阶方阵 $A\boldsymbol {A}$ 可逆 ⇨ $det⁡(A)≠0\det (\boldsymbol {A})≠0$ （此时 $A\boldsymbol {A}$ 为非奇异矩阵）；
线性方程组解的判定：对 $Ax=bA\boldsymbol {x} = \boldsymbol {b}$ （ $A\boldsymbol {A}$ 为 $n$ 阶方阵）， $det⁡(A)≠0\det (\boldsymbol {A})≠0$ ⇨ 方程组有唯一解（克莱姆法则）；
线性变换的缩放率：行列式的绝对值表示线性变换对图形 “面积 / 体积” 的缩放比例（如 2 阶行列式绝对值为平面图形的面积比）。

七、差异对照表

对比维度	矩阵（Matrix）	行列式（Determinant）
本质属性	矩形数表（数据载体）	数值函数（方阵的数量特征）
结构约束	$m \times n$ （ $m$ 与 $n$ 可不等）	仅 $n$ 阶方阵（ $m = n$ ）
运算结果	新矩阵、向量、秩等	单值（实数或复数）
数乘规则	常数乘所有元素	常数乘某一行 / 列
核心功能	表示线性关系、进行线性运算	判断方阵性质、量化缩放率
应用定位	基础运算单元（直接用于问题求解）	辅助工具（用于分析矩阵性质）