当前位置：首页 > news >正文

信号与系统

news 2025/9/11 5:22:35

信号与系统看mooc慕课中西安电子科技大学的课。

信号与系统是在内积空间范畴下研究的。

西安电子科技大学信号与系统课总结

我认为信号与系统主要研究的是线性时不变系统，并且每个时不变系统都对应一个网络函数，这个网络函数就体现了系统对输入信号的作用，所以我认为网络函数是一个线性时不变系统的较为本质的体现

连续函数的傅里叶级数（适用于周期函数）

狄利克雷条件

狄利克雷条件是连续函数进行傅里叶级数展开和傅里叶变换的充分非必要条件，对于离散函数的傅里叶变换和傅里叶级数展开要求离散函数是有限序列即可。

三角形式的傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数有两种，一种是正弦和余弦和的形式，另一种是只有余弦的形式，如下图所示：

1、只有余弦的形式：

其中an和bn求法见下图。

2、正弦和余弦和的形式：

指数形式的傅里叶形式

注意： $F_n$ 的计算要根据 $F_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)$ 。

三角形式的傅里叶级数和指数形式的傅里叶级数的关系

1、都需要满足狄利克雷条件

2、 $F_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)$

3、傅里叶级数均由只有 $a_n$ ， $b_n$ 和W决定。

吉布斯现象

周期信号波形的谐波特性

周期信号的功率和频带宽度

频带宽度

信号功率近似计算

指数形式的傅里叶级数中的 $F_n$ 的第一个零点之前占了总功率的大多数，比如第一个零点之前有 $F_1,F_2,...,F_m$ ,那么信号的功率可以用展开的傅里叶级数的前m项，计算公式为 $|F_0|^2+2(|F_1|^2+...+|F_m|^2)$

连续函数的傅里叶变换（主要适用于周期函数的正变换和非周期函数的正变换与反变换）

频谱密度函数

F(jw)称为频谱密度函数，它是根据单位频率上的频谱定义的，即 $F(jw)=\frac{F_n}{1/T}$ ,其中T->∞。

变换公式

非周期函数的傅里叶正变换： $F(w)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt$

非周期函数的傅里叶反变换： $f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(w)]=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(w)e^{jwt}dw$

周期函数的傅里叶正变换： $F_T(jw)=2\pi\sum^{\infty}_{n=-\infty}F_n\delta(w-n\Omega )$

周期函数的傅里叶反变换慕课中并未提及，我暂时认为不存在。

傅里叶变换的性质

线性性质、保奇偶性、对称性、卷积定理、时域微积分特性、频移特性。

傅里叶变换和傅里叶级数的关系

傅里叶级数是将f(t)展开，变换是将它变换成频域函数，并且一个对应周期函数一个对应非周期函数和周期函数，它们的共同点是都适用于连续函数。一般都是用傅里叶变换，它常用来分析与信号能量相关的属性，比如功率和能量分布等，当然是不变系统的网络函数分析也是用它。

傅里叶分析

图中的Fn和F(jw)对于每个固定的n和w都是常数，所以可以认为傅里叶级数展开和傅里叶变换就是将任意信号分解为虚指数函数之和的形式，这种信号的分解就是傅里叶分析，也就是将信号拆分成基本信号。

零状态的时不变系统分析

不需要记住的结论（可以忽略的较为重要的结论）

1、如果对于零状态响应的LTI系统的冲激响应为h(t)，那么 $f(t)*\delta(t)$ 通过这个零状态响应的LTI系统会输出 $f(t)*h(t)$ 。

2、根据第一条结论可得 $e^{jwt}*\delta(t)$ 经过零状态响应的LTI系统输出 $\mathcal{F}[h(t)]$ ，记H(jw)为h(t)的傅里叶变换，称H(jw)为系统的频率响应函数。

重要结论

1、f(t)经过零状态响应的LTI系统输出 $\mathcal{F}^{-1}[F(jw)H(jw)]$ ,即F(jw)经过零状态响应的LTI系统输出 $F(jw)H(jw)$ ，其中H(jw)是由系统本身来决定的，它是系统输入冲激函数的响应对应的频谱密度函数，它也被成为系统的网络函数，研究零状态响应的线性时不变系统主要分析它，比如系统的冲激响应和阶跃响应都离不开它。

软件辅助计算（待更新）

暂时发现sympy的傅里叶函数不行，但是可以用公式计算，暂时未找到一个更好的方法进行软件傅里叶变换

互相关函数与自相关函数

能量谱和功率谱与自相关函数的关系

如果信号在整改时间上的能量有限则称这个信号为能量信号，相应的如果功率有限成为功率信号。比如周期信号就是功率信号，像正弦信号就是功率信号。能量信号由能量谱来描述能量的分布，功率信号由功率谱来描述功率的分布。

能量谱

能量谱求能量，见下图。

功率谱

功率谱求平均功率，见下图。

无失真传输和理想低通滤波器

无失真传输

理想低通滤波器

前置知识

1、门函数 $g_\tau(t)$ ，也称矩形脉冲,它的幅度为1，宽度为 $\tau$ ,图像如下所示。

2、sa函数，也称抽样函数，它定义为 $\frac{sinx}{x}$

3、si函数，是sa函数的变上限积分，如下图所示。

理想低通滤波器定义

理想低通滤波器的冲激响应

图中理想低通滤波器是物理不可实现的，因为在图中可以看出在激励冲激脉冲未到达时即时间小于零时系统有响应，这是不可能的。

理想低通滤波器的阶跃响应

$g(t)=h(t)*\varepsilon=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}Si[w_c(t-t_d)]$

滤波器物理可实现的必要非充分条件

取样定理

取样定理成立的前提是信号要满足一定条件，如下图所示。

采样分为两种，一种是矩形脉冲采样，一种是冲激采样，我只了解了冲激采样。如果带限信号的最大频率的2倍小于采样频率那么下图的频谱不会发生重叠，而冲激采样中这些不重叠的部分就是原来的信号，所以可以用一个理想的低通滤波器将其余部分过滤掉，剩下的就只有原来信号了，这就实现了原来信号的还原。

下图讲述了低通滤波器应选取的截止频率的范围，建议选择0.5倍的采样频率，并且最后一个式子给出了如何通过采样点来表示原始信号。

下图是时域采样定理的完整叙述。

两个信号经过一定运算后对应的最搞角频率的变化表见下表。

下图是频域采样定理的完整叙述，并且给出了如何用频谱密度函数的采样点来表示原信号的频谱密度函数。

离散傅里叶变换和离散傅里叶级数

下图不清楚可以看mooc对应的文档，在第五周中。

下面几张图理解的不是特别好，有空再看再整理。

西安电子科技大学工程信号与系统课总结（在每一讲中分出来的每一条都指第几个视频的总结）：

傅里叶变换的缺点：1、有些信号不满足狄利克雷条件不能进行连续函数的傅里叶变换。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换重点是单边拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换的定义

双边拉普拉斯变换的定义

有些函数不满足绝对可积的条件，所以不能进行傅里叶变换，而拉普拉斯的思想是对原函数乘以一个指数函数之后让它满足绝对可积的条件从而进行傅里叶变换，然后再进行分析。双边拉普拉斯变换是由时域函数乘以 $e^{-\sigma t}$ （其中 $\sigma$ 为实数）再进行傅里叶变换得到的，即 $\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)e^{-\sigma t}]$ ，记 $F_b(s)=\mathcal{L}[f(t)]$ ,称它为双边拉式变换，对应的逆变换是 $f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F_b(s)]=\mathcal{F}^{-1}[F_b(s)]e^{\sigma t}$

单边拉普拉斯变换（拉氏变换）

我认为拉式变换讨论的是因果信号的情况。下图说的是如果f(t)满足t<0时，f(t)=0那么双边拉普拉斯变换和拉氏变换相等，但是如果不满足其实也能进行拉氏变换，只不过有可能不相等了。在拉氏变换眼中两个函数f(t)和g(t)如果在t>=0时完全相同那么就认为它们是同一个函数，也就是说忽略t<0的时候。

收敛域

有时间整理

拉普拉斯变换的双射性质

这里只需要记住结论就行，不需要明白怎么推导出来的。

单边拉普拉斯也就是拉氏变换它是只考虑t>=0时，f(t)和F(s)的双射，也就是它们之间是一一对应的，对于双边拉普拉斯变换需要加上收敛域才能一一对应，如下图。

拉氏变换的性质

拉普拉斯变换的性质线性性质、尺度变换的性质、时移特性、复频移特性、微分积分性质、卷积相关性质、初值和终值性质，如下图所示。

积分和微分性质:

前提条件： $f(t)\leftrightarrow F(s),Re[s]>\sigma_0$

时域

s域

微分性质

$f^{'}(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0_-)$ .

如果f(t)为因果信号,则 $f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nF(s)$

$(-t)f(t) \leftrightarrow F^{'}(s)$

$(-t)^nf(t) \leftrightarrow F^{(n)}(s)$

积分性质

$\frac{f(t)}{t}\leftrightarrow \int^{\infty}_{s}F(\eta)d\eta$

电容和电感的s域模型

电容： $U_c(s)=\frac{1}{sc}I(s)+\frac{U_c(0_-)}{s}$

电感： $U_L(s)=sLI_L(s)-Li_L(0_-)$

在连续系统前提下，系统函数和微分方程的关系

连续系统的系统函数和微分方程是等价关系，也就是知道系统函数可以确定微分方程，知道微分方程则可以确定系统函数。据此我认为系统函数就是一个连续系统的本质所在，在这里再多说一句系统函数只与系统结构、元件参数有关，与激励、初始状态无关，所以说学习电路重要的是拓扑结构和元件参数的计算，因为这个是电路的本质所在，定下拓扑结构和元件参数那么功能也就确定了，反过来要实现某个功能可以选择合适的系统函数，这样也就是在选择合适的拓扑和元件参数，总之这证明了我的学习路线和设计原理图的路线是通过功能定拓扑结构，再通过拓扑定元件选型的正确性。下图是各个描述方法的关系，但是我认为重要的还是所说的系统函数和微分方程的关系。

系统函数的零点极点分布决定时域特性

对于下图的结论只需要记住会用即可，不需要知道怎么来的。

LTI系统的稳定性判别

稳定性定义

对于线性时不变连续系统，若对任意有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称LTI系统是稳定的。

罗斯阵列

因果稳定系统：

根据下面两个图可以知道如果极点在左半平面那么这个系统就是因果稳定系统，并且H(jw)就为系统的频率响应。

连续系统的信号流图

信号流图定义

信号流图推出系统函数——梅森公式

梅森公式是根据系统的信号流图得出系统函数的方法。

如果下面看不懂可以看慕课对应的视频。

用梅森公式时先算将每个环的增益求出来分别记为 $L_1,L_2,L_3,...$ ,然后计算它们的乘积记为 $g_1$ ，然后找到两两不接触的环，然后计算它们的乘积记为 $g_2$ ，对于三三不接触的也这样，一直进行下去，知道找不到不接触的为止。 $\Delta$ = $g_1-g_2+g_3-....$ ， $p_i$ 第i个前向通路的增益， $\Delta_i$ 为刨去第i个前向通路后的 $\Delta$ ，特别注意刨去指的是连同结点一同刨去。