曲面法向量的数学推导与 SymPy 实现
在微分几何中，曲面的法向量是一个基本而重要的概念。对于由隐函数方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0F(x,y,z)=0 定义的曲面，其法向量可以通过计算函数 FFF 的梯度得到。本文将深入探讨这一结论的数学推导，并使用 Python 的 SymPy 库进行符号计算验证。
数学推导
曲面的隐式表示与法向量定义
设曲面由方程 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0F(x,y,z)=0 定义，其中 FFF 是一个连续可微的函数。曲面在点 P0=(x0,y0,z0)P_0 = (x_0, y_0, z_0)P0=(x0,y0,z0) 处的法向量定义为与该点处切平面垂直的向量。
证明梯度为法向量
要证明梯度向量 ∇F=(∂F∂x,∂F∂y,∂F∂z)\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)∇F=(∂x∂F,∂y∂F,∂z∂F) 是曲面的法向量，我们需要证明它垂直于曲面上过 P0P_0P0 点的任意一条切线。
考虑曲面上任意一条经过 P0P_0P0 的光滑曲线 r(t)=(x(t),y(t),z(t))\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中 t=t0t=t_0t=t0 时，r(t0)=P0\mathbf{r}(t_0) = P_0r(t0)=P0。由于曲线完全在曲面上，对于所有 ttt，有：
F(x(t),y(t),z(t))=0F(x(t), y(t), z(t)) = 0F(x(t),y(t),z(t))=0
对等式两边关于 ttt 求导，应用链式法则：
ddtF(x(t),y(t),z(t))=∂F∂xdxdt+∂F∂ydydt+∂F∂zdzdt=0\frac{d}{dt} F(x(t), y(t), z(t)) = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{dz}{dt} = 0dtdF(x(t),y(t),z(t))=∂x∂Fdtdx+