week4-[二维数组]幻方检测

week4-[二维数组]幻方检测

题目描述

幻方是一种很神奇的 $N$ 行 $N$ 列的方阵：它由数字 $1,2,3,\dots ,N\times N$ 构成，其中$1,2,3,\dots ,N\times N$中每个数字在幻方中出现恰好一次，并且每行、每列及两条对角线上的数字之和都相同。

给定一个 $N$ 行 $N$ 列的整数方阵，其中第 $i$ 行 第 $j$ 列的数字为 $A_{i,j}$。请判断该整数方阵是否为幻方。

输入格式

第一行包括一个整数 $N$，表示幻方的阶数。

接下来 $N$ 行，每行 $N$ 个整数，表示待检测的数字方阵 $A$ 。

输出格式

如果输入的方阵 $A$ 为幻方，则输出一行"Yes"，否则输出一行"No"（输出的内容不包括引号）。

样例 #1

样例输入 #1

3
6 7 2
1 5 9
8 3 4

样例输出 #1

Yes

样例 #2

样例输入 #2

3
4 3 8
9 5 1
2 7 6

样例输出 #2

Yes

样例 #3

样例输入 #3

4
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

样例输出 #3

Yes

样例 #4

样例输入 #4

3
3 1 2
1 2 3
2 3 1

样例输出 #4

No

样例 #5

样例输入 #5

3
5 6 1
0 4 8
7 2 3

样例输出 #5

No

提示

数据范围

对于所有数据，$3\le N\le 30,0\le A_{i,j}\le 1000$。

🔎 解题思路

一个矩阵要成为「幻方」，必须同时满足两个条件：

1. 数字完整性：矩阵里的数字必须是 1 ~ N*N，每个出现且只出现一次。
   • 可以用一个布尔数组（或 set）来检查。
2. 行列与对角线和相等：
   • 先计算第一行的和作为目标值 target。
   • 依次检查每一行、每一列是否和 target 相等。
   • 检查两条对角线是否和 target 相等。

只要有一条不满足，答案就是 "No"。

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📝 算法步骤

1. 读入 N 和矩阵。
2. 检查数字范围与唯一性：
   • 开一个大小 N*N+1 的布尔数组 used。
   • 遍历矩阵元素，如果数字不在 1 ~ N*N 范围内或重复，直接输出 "No"。
3. 计算目标和 target = 第一行的和。
4. 逐行逐列检查：
   • 遍历所有行、列的和是否等于 target。
5. 检查两条对角线：
   • 主对角线：A[1][1] + A[2][2] + ... + A[N][N]
   • 副对角线：A[1][N] + A[2][N-1] + ... + A[N][1]
6. 如果所有条件都满足，输出 "Yes"，否则输出 "No"。

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🧾 C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {int N;cin >> N;vector<vector<int>> A(N, vector<int>(N));vector<bool> used(N * N + 1, false);// 读入并检查数字范围for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {cin >> A[i][j];int val = A[i][j];if (val < 1 || val > N * N || used[val]) {cout << "No" << endl;return 0;}used[val] = true;}}// 目标和：第一行int target = 0;for (int j = 0; j < N; j++) target += A[0][j];// 检查每一行for (int i = 0; i < N; i++) {int sumRow = 0;for (int j = 0; j < N; j++) sumRow += A[i][j];if (sumRow != target) {cout << "No" << endl;return 0;}}// 检查每一列for (int j = 0; j < N; j++) {int sumCol = 0;for (int i = 0; i < N; i++) sumCol += A[i][j];if (sumCol != target) {cout << "No" << endl;return 0;}}// 主对角线int sumDiag1 = 0, sumDiag2 = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {sumDiag1 += A[i][i];sumDiag2 += A[i][N - 1 - i];}if (sumDiag1 != target || sumDiag2 != target) {cout << "No" << endl;return 0;}cout << "Yes" << endl;return 0;
}