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量子计算基础

news 2025/8/23 16:46:13

量子计算

量子计算一般由三个基本步骤组成：制备输入量子态、对于量子态执行幺正变换以及测量输出态，这里将介绍这三个基本要素。

1 量子态

与经典计算中比特(bit)的概念相对应，量子计算中最小信息载体和处理单位是量子比特(quantum bit, or the qubit)。经典计算中,一个比特通过存储电平的高低来表示状态 0 或者状态 1。量子计算中，一个量子比特通过 $∣0⟩|0\rangle$ 或 $∣1⟩|1\rangle$ 态的线性组合描述来表示量子态，对应于两能级量子系统的基态和激发态，表示为 $∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ 。其中 $α,β\alpha, \beta$ 称为振幅，是满足 $∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 的复数。对于一个 $n$ 量子比特系统，一个具有 $2^n$ 个复数元素的向量 $x$ 被用来表示 $2^n$ 个基量子态的振幅， $x$ 中的所有元素满足 $∑i=02n∣xi∣2=1\sum_{i=0}^{2^n}|x_i|^2=1$ 。

一般将 $∣0⟩|0\rangle$ 和 $∣1⟩|1\rangle$ 写成以下列向量形式：
$∣0⟩=[10]，∣1⟩=[01]|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}，|1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

量子比特态的另一个表示方法是

$|\psi\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + e^{i\varphi}\sin(\theta/2)|1\rangle$

其中 $\leq \phi < 2\pi, 0 \leq \theta \leq \pi$ 。量子比特态和单位球面上的点之间存在一一对应关系，这就是量子比特态的布洛赫球表示法。

下图即是布洛赫球：

在这里插入图片描述

以下是几个特殊量子态在布洛赫球上的位置：

焦点	$θ\theta$	$φ\varphi$	$∣ψ⟩\vert\psi\rangle$
x轴	$π/2\pi/2$	$0$	$(∣0⟩+∣1⟩)/2(\vert0\rangle + \vert1\rangle)/\sqrt{2}$
-x轴	$π/2\pi/2$	$π\pi$	$(∣0⟩−∣1⟩)/2(\vert0\rangle - \vert1\rangle)/\sqrt{2}$
y轴	$π/2\pi/2$	$π/2\pi/2$	$(∣0⟩+i∣1⟩)/2(\vert0\rangle + i\vert1\rangle)/\sqrt{2}$
-y轴	$π/2\pi/2$	$−π/2-\pi/2$	$(∣0⟩−i∣1⟩)/2(\vert0\rangle - i\vert1\rangle)/\sqrt{2}$
z轴	$0$	$0$	$∣0⟩\vert0\rangle$
-z轴	$π\pi$	$0$	$∣1⟩\vert1\rangle$

2 量子门和量子线路

量子态之间的转换由幺正变换实现，可以通过量子线路来完成。量子线路由一系列量子门构成，量子门使量子态发生特定的演化。设初始量子态是 $ψ\psi$ ，则经过酉变换U 演化的量子态是 $ψ′=Uψ\psi'=U\psi$ 。量子态的演化本质上可以看作是对量子态对应的向量做变换，即做矩阵的乘法。在数学上，我们使用酉矩阵表示量子逻辑门。对于所有的酉矩阵U，满足 $U†U=IU^{\dagger}U = I$ 。

（1）单比特量子逻辑门

作用于一个量子比特的门由一个 $2×22\times2$ 的酉矩阵表示：
$U(\theta, \phi, \lambda) = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -e^{i\lambda}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & e^{i(\phi+\lambda)}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}$

其中 $\leq \theta \leq \pi$ ， $\leq \lambda < 2\pi$ ， $\leq \phi < 2\pi$ 。

下面举例一些常见的单比特量子逻辑门。

I门

又称为Id门或者Identity门，是一种特殊的量子门，它对量子比特不进行任何操作，它在量子电路中相当于一个“占位符”，通常用于表示某个量子比特在某个步骤没有被操作。
$I=[1001]I=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

P门

又称为相位门，是可以设置参数的门。需要向其输入正确的数字（ $λ\lambda$ ）。P门是以Z轴为基准，旋转 $λ\lambda$ 。
$p(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\lambda} \end{bmatrix}= U(0, 0, \lambda)$

Hadamard门

也叫H门，常用于产生叠加量子态。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = U(\pi/2, 0, \pi)$

X门

也称为Pauli-X门或非门（NOT门），其作用是在Bloch球中以x轴为中心旋转 $π\pi$ ，翻转量子比特的状态，即将 $∣0⟩|0\rangle$ 状态变为 $∣1⟩|1\rangle$ 状态，将 $∣1⟩|1\rangle$ 状态变为 $∣0⟩|0\rangle$ 状态。

$=R_x(\pi) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = U(\pi, 0, \pi)$

Y门

Y门的作用是在Bloch球中以y轴为中心旋转 $π\pi$ 。

$=R_y(\pi) = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = U(\pi, \pi/2, \pi/2)$

Z门

Z门的作用是在Bloch球中以z轴为中心旋转 $π\pi$ 。

$=R_z(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = P(\pi)$

Rx门（绕x轴旋转门）

Rx门用于在Bloch球上绕x轴旋转量子比特的状态，其矩阵形式为：

$R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$

Ry门（绕y轴旋转门）

Ry门用于在Bloch球上绕y轴旋转量子比特的状态，其矩阵形式为：

$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$

Rz门（绕z轴旋转门）

Rz门用于在Bloch球上绕z轴旋转量子比特的状态，其矩阵形式为：

$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}$

（2）多比特量子逻辑门

CNOT门

作用于两个量子比特的量子门，当第一个量子比特（控制位）为 $∣1⟩|1\rangle$ 的时候，对第二个量子比特施加一个X门的效果。所以CNOT门在很多文献中也称为CX门。
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

SWAP门

SWAP门用于交换两个量子比特的状态。
$SW\kern-0.3emAP= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

受控酉门

受控酉门的矩阵形式如下：
$CU=[I00U]CU=\begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}$

其中 $U$ 为指定的酉操作。当控制量子比特是 $∣0⟩|0\rangle$ 时，受控量子比特保持不变；当控制量子比特是 $∣1⟩|1\rangle$ 时，受控量子比特做酉操作。以下是受控Z门(CZ门)的矩阵示例：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

3 量子测量

量子测量的过程可以通过一系列特定的测量算子 ${M_m\}$ 来描述，这些算子会作用在待测量系统的状态空间上， $m$ 表示可能的测量结果。假设测量前量子态的状态为 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ ,则得到测量结果m的概率为:

$\langle \psi | M_m^\dagger M_m | \psi \rangle$

测量后系统的状态塌缩为：
$\frac{M_m |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi | M_m^\dagger M_m | \psi \rangle}}$

由于所有情况的概率和为1，即
$1=\sum_m p(m)=\sum_m\left\langle\psi\left|M_m^{\dagger} M_m\right| \psi\right\rangle$
因此，测量算子需满足完备性方程（completeness equation）：
$\sum_m M_m^\dagger M_m = I$

例如单量子比特的测量。单量子比特在计算基下有两个测量算子，分别是 $M0=∣0⟩⟨0∣,M1=∣1⟩⟨1∣M_{0}=|0\rangle\left\langle 0\left|, M_{1}=\right| 1\right\rangle\langle 1|$ 。这两个测量算子都是自伴的，即

$M_{0}^{\dagger}=M_{0}, M_{1}^{\dagger}=M_{1}$

且

$M_{0}^{2}=M_{0}, M_{1}^{2}=M_{1}$

因此

$M_{0}^{\dagger} M_{0}+M_{1}^{\dagger} M_{1}=M_{0}+M_{1}=I$

该测量算子满足完备性方程。

设系统被测量时的状态是 $∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，测量结果为 $0$ 的概率为

$p(0)=\left\langle\psi\left|M_{0}^{\dagger} M_{0}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|M_{0}\right| \psi\right\rangle=|\alpha|^{2}$
对应测量后的状态为
$\frac{M_{0}|\psi\rangle}{\sqrt{\left\langle\psi\left|M_{0}^{\dagger} M_{0}\right| \psi\right\rangle}}=\frac{M_{0}|\psi\rangle}{|\alpha|}=\frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle$
测量结果为1的概率为
$p(1)=\left\langle\psi\left|M_{1}^{\dagger} M_{1}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|M_{1}\right| \psi\right\rangle=|\beta|^{2}$

测量后的状态为

$\frac{M_{1}|\psi\rangle}{\sqrt{\left\langle\psi\left|M_{1}^{\dagger} M_{1}\right| \psi\right\rangle}}=\frac{M_{1}|\psi\rangle}{|\beta|}=\frac{\beta}{|\beta|}|1\rangle$