用不均匀硬币实现公平决策
题目内容
有一个硬币不均匀，正面朝上70%，反面朝上30%。现在我们2个人出去吃饭，希望通过这枚硬币公平决策出谁买单，该如何决策？平均抛多少次可以决策出？
决策方法
这是一个关于利用不均匀硬币实现公平决策的概率问题。
抛掷硬币两次，按以下规则决定：
- 第一次正第二次反（概率0.7×0.3=0.21）：A赢
- 第一次反第二次正（概率0.3×0.7=0.21）：B赢
- 其他情况（概率1-0.42=0.58）：重新抛
这样设计保证了双方获胜概率均为21%，完全公平。
期望抛掷次数计算：
设期望次数为E，建立方程：E = 0.42×2（成功） + 0.58×(2+E)（需要重抛）
展开得：E = 0.84 + 1.16 + 0.58E
移项得：0.42E = 2
解得：E ≈ 4.76次推导验证：
每次尝试需要抛2次，成功率42%
期望尝试次数 = 1/0.42 ≈ 2.38次
因此总期望次数 = 2.38×2 ≈ 4.76次
这个方案巧妙地利用两次抛掷的排列组合，抵消了硬币的不均匀性，实现了公平决策。
进一步解释
期望次数是什么意思？
期望次数（Expected Number of Trials）是指在概率问题中，为了达到某个目标（如成功决策谁买单），平均需要进行的尝试次数。它是一个长期统计的平均值，而不是某一次具体实验的结果。
为什么需要计算期望次数？
在这个问题中，由于硬币不均匀（正70%，反30%），直接抛一次会导致决策不公平。因此，我们采用抛两次硬币的策略：
- 正反（P=0.7×0.3=0.21） → A赢
- 反正（P=0.3×0.7=0.21） → B赢
- 正正或反反（P=0.7²+0.3²=0.58） → 重新抛
由于每次尝试（抛两次）有 42% 的成功概率（0.21+0.21），所以平均需要 1/0.42 ≈ 2.38 次尝试才能成功决策。
而每次尝试需要抛 2 次硬币，因此 期望总抛掷次数 ≈ 2.38 × 2 ≈ 4.76 次。
数学推导
设期望次数为 E，则：
- 成功（42%概率） → 只需抛 2 次
- 失败（58%概率） → 已经抛了 2 次，仍需再抛 E 次
因此，建立方程：E=0.42×2+0.58×(2+E)
解得：E=4.76 次
总结
- 期望次数 ≈ 4.76 次，表示长期来看，平均需要抛 4.76 次硬币才能公平决定谁买单。
- 期望（Expected Value）是概率论中的核心概念，用于衡量长期实验的平均结果。
什么是“期望”（Expected Value）？
“期望”是概率论中的一个核心概念，表示在长期重复实验中，某个随机事件的平均结果。你可以把它理解成“数学上的长期平均值”。
举个简单例子：掷骰子
假设你有一个公平的6面骰子，每个面（1~6）出现的概率都是 1/6。
那么，点数的期望值就是：
这意味着，如果你无限次掷骰子，最终所有点数的平均值会趋近于3.5（尽管你永远掷不出3.5点）。
回到硬币问题
在硬币问题中，我们计算的是“期望抛掷次数”，即：
- 每次尝试：抛2次硬币（可能成功，也可能失败需要重抛）。
- 成功概率：42%（即0.21+0.21）。
- 失败概率：58%（即0.7²+0.3²）。
数学推导：
设期望次数为 E，则：
- 0.42×2：42%的概率只需抛2次就成功。
- 0.58×(2+E)：58%的概率抛了2次后，仍需再抛E次。
解方程得：E=4.76 次
这意味着，长期来看，平均需要抛4.76次硬币才能公平决定谁买单。
关键点总结
- 期望 ≠ 单次结果：它描述的是长期趋势，不是某一次实验的结果。
- 加权平均：期望是所有可能结果的概率加权平均。
- 应用场景：在赌博、保险、投资、游戏设计等领域，期望值帮助人们预测长期收益或成本。
简单记忆：
“期望就是无限次重复实验后，统计出来的平均结果。”
另一种理解方式
1. 问题核心：如何用“作弊硬币”公平二选一？
- 你有一枚“作弊硬币”，正面70%，反面30%。
- 想用它公平决定谁买单（两人概率必须严格50%对50%）。
- 直接抛一次不行！（因为70%对30%不公平）
2. 解决方案：抛两次，看顺序
- 规则：
- 第一次正，第二次反（正反）→ 你赢
- 第一次反，第二次正（反正）→ 对方赢
- 其他情况（正正或反反）→ 重抛
为什么公平？
- 正反的概率 = 0.7×0.3 = 0.21
- 反正的概率 = 0.3×0.7 = 0.21
- 两人赢的概率完全相同（都是21%），剩下58%的情况无效。
3. 为什么平均要抛4.76次？
- 每次尝试：抛2次硬币。
- 成功率：42%（即21%+21%）。
- 失败率：58%（需要重抛）。
计算逻辑：
- 平均需要 1/0.42 ≈ 2.38次尝试才能成功一次。
- 每次尝试抛2次，所以总次数 = 2.38 × 2 ≈ 4.76次。
经典的“几何分布”问题：如果每次尝试的成功概率是 p，那么平均需要 1/p 次尝试才能成功一次。
- 可以理解为：成功概率是 42%，相当于平均每 100 次尝试能成功 42 次。
- 反过来，成功一次需要的平均尝试次数 = 100/42 ≈ 2.38 次。
在概率论中，这种“重复尝试直到成功”的问题属于几何分布。
几何分布的期望（平均尝试次数）公式为：其中，p 是单次尝试的成功概率（这里 p=0.42）。
通俗类比：
就像抽奖，中奖概率42%，平均抽2.38次能中一次。
但每次抽奖要花2块钱（抛2次），所以总成本是4.76块钱。
类似问题😊
题目：
有一个六面骰子，其中1点朝上的概率是30%，2点朝上的概率是20%，3、4、5、6点朝上的概率均为12.5%。现在Alice和Bob希望通过掷这个骰子公平地决定谁洗碗（即两人被选中的概率完全相等）。请设计一个方法，并计算平均需要掷多少次骰子才能做出决定。
提示：
类似于不均匀硬币的问题，可以考虑掷骰子的某些特定序列。
需要找到两个或多个序列，它们的概率相等，且可以分别对应Alice和Bob。
其他序列需要被忽略并重掷。
方法1（通用但低效）：
连续掷骰子两次：
如果结果是(1,2)，Alice洗碗。P(Alice) = P(1,2) = 0.06
如果结果是(2,1)，Bob洗碗。P(Bob) = P(2,1) = 0.06
其他结果忽略并重掷。其他结果的概率 = 1 - 0.06 - 0.06 = 0.88
公平性：P(Alice) = P(Bob) =6%。
每次“尝试”是连续掷两次骰子：
成功概率（(1,2)或(2,1)）：P(成功) = 0.06 + 0.06 = 0.12
失败概率（其他结果）：P(失败) = 1 - 0.12 = 0.88
期望尝试次数 = 1 / P(成功) = 1 / 0.12 ≈ 8.33次尝试
每次尝试掷骰2次，因此期望掷骰次数 = 8.33 × 2 ≈ 16.67次
方法2（高效但部分结果未利用）：
P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=0.125
掷骰子一次：
如果结果是3或4，Alice洗碗。P(Alice) = P(3) + P(4) = 0.125 + 0.125 = 0.25
如果结果是5或6，Bob洗碗。P(Bob) = P(5) + P(6) = 0.125 + 0.125 = 0.25
如果是1或2，忽略并重掷。忽略概率 = P(1) + P(2) = 0.3 + 0.2 = 0.5
公平性：P(Alice) = P(Bob) = 50%。
期望掷骰次数：
成功概率 = 0.25 + 0.25 = 0.5，失败概率 = 0.5
期望尝试次数 = 1 / 0.5 = 2次
每次尝试掷骰1次，因此E = 2 × 1 = 2次
推荐方法2，因为效率更高！