计算机算术5-整形除法

1.1 基础知识

1. 英文简写
   以Z/D = (Q, R)为例
   Z = numerator (dividend)，分子，被除数
   D = denominator (divisor)，分母，除数
   Q = quotient，商
   R = Remainder，余数
2. 基础算法
   $$s^{(j+1)}=s^{(j)}-q_{(k-j)}d{r}^{(k-j)}$$
   其中$s^{(0)}=z$; k 表示商的位数，$s^j$表示部分余数，为了让后续推导顺利进行，这里给$s^j$乘上一个$r^j$, 上式变为:
   $$s^{(j+1)}=r{s}^{(j)}-q_{k-j}d{r}^k$$
3. robertson图
   下一次余数和当前余数的关系图， 也即$$s^{(j+1)}和r{s}^{(j)}$$的关系图， 核心目的是用来选商的。

但如上图所示，这样比较大小进行选商太复杂了，如果边界是个常数就好了

1.2 基本分类

1. 恢复余数除法（Restoring Remainder）、不恢复余数除法（Non-redstoring Remaind）、SRT除法（SRT Division）等算法。
2. 牛顿迭代法、Goldschmidt算法等算法。

上面两类的区别是，第一类每次迭代都可确定1位的商，并且是基于加法的，即通过加法操作迭代来收敛结果，称作加性归一化的（additive normalization）。

第二类的收敛速度是平方级的，例如可能第i次能收敛n bit的商，第i+1次就能收敛2n bit的商了，这类算法是基于乘法操作的，即通过乘法操作来收敛结果，称作乘性归一化的（multiplicative normalization）。

2. 基本算法

2.1 恢复余数除法-慢速除法

慢速算法通过循环等式，对余数R进行迭代：
$$R_{j+1}=B\ast R_j-q_{n-(j+1)}\ast D$$
其中$R_j$是第j个部分余数， B是基；$q_{n-(j+1)}$是商的第n-(j+1)位,例如第一次迭代(j=0)产生$q_{n-1}$,商的最高位。n是商的位数，D是除数.
其中R=$R_n$, N = $R_0$， 将上面递归计算式带入得到
$$R_n=2^{n}N-QD$$
恢复余数除法的操作是先更新余数，如果余数小于0，则表明更新余数上的商是错误的，所以我们选择正确的商，并将余数恢复到正数(R+D)

2.2 不恢复余数除法

不恢复余数除法使用数集{-1, 1}, 在这种算法下，每位数字的基是{-1,1}, 而非{0, 1}, 例如-3 = 4’b-111-1.
不恢复余数法的操作是先判断余数大小，如果余数大于0，更新R=2*R-D;如果余数小于0；更新R=2R+D

R := N
D := D << n            -- R and D need twice the word width of N and Q
for i = n − 1 .. 0 do  -- for example 31..0 for 32 bitsif R >= 0 thenq(i) := +1R := 2 * R − Delseq(i) := −1R := 2 * R + Dend if
end
-- Note: N=numerator, D=denominator, n=#bits, R=partial remainder, q(i)=bit #i of quotient.

由于这种方法得到的结果是非标准形式，因此需要对商在最后一步进行转化。转化方式如下：
例如: Q = 111(-1)1(-1)1(-1)
则P = 11101010, N=00010101
Q = P-M = 11010101
最后还需要判断一次余数的正负，如果最后一次余数为负，则Q= Q-1

if R < 0 thenQ := Q − 1R := R + D  -- Needed only if the remainder is of interest.
end if

3. 小结

1. 除法分为恢复余数除法和不恢复余数除法，两者的基都是非冗余基，其中不恢复余数除法的基可以为负数，因此需要对商进行转换
2. 在进行除法运算时，我们会先将除数(d)进行左移，使得除数和被除数进行对齐，最后将余数进行右移。

参考链接：
https://www.cnblogs.com/devindd/articles/17633558.html