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受限长度路径搜索算法

news 2025/11/6 12:10:06

本文研究图论中的受限长度路径枚举问题（Length-Constrained Path Enumeration Problem, LCPE），提出一种基于深度优先搜索（DFS）的高效算法。该算法与哈密顿路径问题（Hamiltonian Path Problem）密切相关，通过引入长度约束实现了对哈密顿路径问题的泛化。算法能够在给定的无向图中，找出所有长度不超过指定阈值的简单路径，包括对哈密顿路径的近似搜索。通过路径去重机制和约束剪枝策略，算法在保证结果完整性的同时显著提升了计算效率。

1. 问题定义及描述

1.1 问题定义

给定一个无向图 G = (V, E)，其中 V是节点集合，E 是边集合，以及一个最大长度约束 L_{max}。受限长度路径搜索问题要求找出图 G中所有满足以下条件的简单路径：

路径长度（边数）不超过L_{max}
路径为简单路径（不包含重复节点）
包括所有单个节点构成的退化路径（长度为0）
考虑无向图的对称性，避免重复计数

1.2 与哈密顿路径问题的关联

哈密顿路径问题（Hamiltonian Path Problem）：

给定图 G = (V, E)，判断是否存在一条经过每个顶点恰好一次的路径。

关联性分析：

当 L_{max} = |V| - 1 时，本问题退化为哈密顿路径存在性问题的搜索版本

算法实际上在搜索所有长度不超过 L_{max}的哈密顿路径的子路径

因此本问题也可视为带长度约束的部分哈密顿路径枚举问题

2. 算法设计

2.1 输入参数

参数	类型	描述
`nodes`	`List<String>`	图的节点集合 V = {v_1, v_2, \ldots, v_n}
`edges`	`List<Pair<String, String>>`	图的边集合 $E \subseteq V \times V$
`maxLength`	`Int`	最大路径长度约束 L_{max} 边数

2.2 输出结果

算法返回一个路径列表，每个路径包含：

nodes: List<String> - 路径中的节点序列
edges: List<Pair<String, String>> - 路径使用的边集合
length: Int - 路径长度（边数）

3.算法实现

3.1 数据结构定义

data class Path(val nodes: List<String>,          // 路径中的节点顺序val edges: List<Pair<String, String>>, // 使用的边val length: Int = nodes.size - 1  // 路径长度（边数）
)

3.2 算法实现步骤

核心算法入口：

   fun findAllShortPaths(nodes: List<String>,edges: List<Pair<String, String>>,maxLength: Int = 1  // 最大长度限制（边数）): List<Path> {val graph = buildGraph(nodes, edges)val allPaths = mutableListOf<Path>()println("查找所有长度 <= $maxLength 的路径")println("图结构: $nodes")println("边: $edges")println()// 首先添加所有单个节点作为路径（长度为0）nodes.forEach { node ->allPaths.add(Path(listOf(node), emptyList(), 0))}// 对每对不同的节点作为起点和终点for (i in nodes.indices) {for (j in nodes.indices) {if (i != j) {val start = nodes[i]val end = nodes[j]findPathsBetween(graph, start, end, maxLength, allPaths)}}}// 去重（考虑无向图的对称性）return removeDuplicatePaths(allPaths).sortedBy { it.length }}

图构建过程：

private fun buildGraph(nodes: List<String>, edges: List<Pair<String, String>>): Map<String, List<String>> {val graph = mutableMapOf<String, MutableList<String>>()nodes.forEach { graph[it] = mutableListOf() }edges.forEach { (u, v) ->graph[u]?.add(v)graph[v]?.add(u)  // 无向图，双向添加}return graph
}

为搜寻有向路径，在无向图每条边的两个方向都建立连接，用邻接表存储图结构，并预先初始化所有节点的邻接表，避免空指针异常。

DFS+回溯搜索路径：

private fun findPathsBetween(graph: Map<String, List<String>>,start: String,end: String,maxLength: Int,allPaths: MutableList<Path>
) {val visited = mutableSetOf<String>()val currentPath = mutableListOf<String>()fun dfs(current: String) {visited.add(current)currentPath.add(current)// 终止条件：到达终点且满足长度约束if (current == end && currentPath.size - 1 <= maxLength) {val pathEdges = extractEdgesFromPath(currentPath)allPaths.add(Path(ArrayList(currentPath), pathEdges))}// 剪枝：长度约束if (currentPath.size - 1 < maxLength) {for (neighbor in graph[current] ?: emptyList()) {if (neighbor !in visited) {dfs(neighbor)}}}// 回溯：恢复状态currentPath.removeAt(currentPath.size - 1)visited.remove(current)}dfs(start)
}

深度优先搜索所有可能路径，使用visited集合标记已经访问的节点，避免重复访问；使用currentPath维护记录当前探索路径；在返回上层递归前恢复状态。

路径提取与规范化：

private fun extractEdgesFromPath(path: List<String>): List<Pair<String, String>> {if (path.size < 2) return emptyList()return (0 until path.size - 1).map { i ->val u = path[i]val v = path[i + 1]if (u < v) u to v else v to u  // 边规范化}.sortedWith(compareBy({ it.first }, { it.second }))
}

重复路径消除

private fun removeDuplicatePaths(paths: List<Path>): List<Path> {val seen = mutableSetOf<String>()val uniquePaths = mutableListOf<Path>()for (path in paths) {val key = if (path.nodes.size == 1) {path.nodes[0]  // 单节点路径直接使用节点名} else {val forwardKey = path.nodes.joinToString("->")val reverseKey = path.nodes.reversed().joinToString("->")// 选择字典序较小的作为规范表示if (forwardKey < reverseKey) forwardKey else reverseKey}if (key !in seen) {seen.add(key)uniquePaths.add(path)}}return uniquePaths
}

考虑无向图的对称性，A→B→C 和 C→B→A 视为同一路径

实例测试：

fun main() {val finder = ShortPathFinder()val nodes = listOf("A", "B", "C", "D", "E", "F")val edges = listOf("A" to "B","B" to "C","C" to "D", "B" to "D","D" to "E","D" to "F","E" to "F")val paths = finder.findAllShortPaths(nodes, edges, 6)
}