前缀和题目：元素和小于等于阈值的正方形的最大边长

题目

标题和出处

标题：元素和小于等于阈值的正方形的最大边长

出处：1292. 元素和小于等于阈值的正方形的最大边长

难度

7 级

题目描述

要求

给定一个大小为 $\text{m}\times \text{n}$ 的矩阵 $\text{mat}$ 和一个整数 $\text{threshold}$，返回元素总和小于或等于 $\text{threshold}$ 的正方形区域的最大边长，如果没有这样的正方形区域则返回 $\text{0}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{mat = [[1,1,3,2,4,3,2],[1,1,3,2,4,3,2],[1,1,3,2,4,3,2]], threshold = 4}$
输出：$\text{2}$
解释：总和小于或等于 $\text{4}$ 的正方形的最大边长为 $\text{2}$，如图所示。

示例 2：

输入：$\text{mat = [[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2]], threshold = 1}$
输出：$\text{0}$

数据范围

• $\text{m}=\text{mat.length}$
• $\text{n}=\text{mat[i].length}$
• $\text{1}\le \text{m, n}\le \text{300}$
• $\text{0}\le \text{mat[i][j]}\le {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{0}\le \text{threshold}\le {\text{10}}^{\text{5}}$

前言

这道题要求返回矩阵 $\text{mat}$ 中的元素和不超过 $\text{threshold}$ 的正方形区域的最大边长。计算正方形区域的元素和需要通过二维前缀和实现，二维前缀和的实现可以使用「二维区域和检索 - 矩阵不可变」的做法。

解法

思路和算法

为了快速计算每个正方形区域的元素和，需要使用二维前缀和。

对于 $m\times n$ 的矩阵 $\text{mat}$，创建 $(m+1)\times (n+1)$ 的前缀和矩阵 $\text{prefixSums}$，对于 $0\le i\le m$ 和 $0\le j\le n$，$\text{prefixSums}[i][j]$ 表示 $\text{mat}$ 的行数为 $i$、列数为 $j$ 的前缀和，即行下标范围 $[0,i-1]$、列下标范围 $[0,j-1]$ 中的所有元素之和：

$$\text{prefixSums}[i][j]=\sum _{0\le p<i,0\le q<j}\text{mat}[p][q]$$

特别地，当 $i$ 和 $j$ 中至少有一个值等于 $0$ 时，$\text{prefixSums}[i][j]=0$。

对于 $0\le i<m$ 和 $0\le j<n$，$\text{prefixSums}[i+1][j+1]$ 的值计算如下：

$$\begin{array}{rl}& \text{prefixSums}[i+1][j+1]\\ =& \text{prefixSums}[i][j+1]\\ & +\text{prefixSums}[i+1][j]\\ & -\text{prefixSums}[i][j]\\ & +\text{mat}[i][j]\end{array}$$

得到前缀和矩阵 $\text{prefixSums}$ 之后，对于 $0\le i<m$ 和 $0\le j<n$，当 $\text{side}\le \min (i+1,j+1)$ 时，以 $(i,j)$ 为右下角且边长为 $\text{side}$ 的正方形区域的元素和为 $\text{prefixSums}[i+1][j+1]-\text{prefixSums}[i+1-\text{side}][j+1]-\text{prefixSums}[i+1][j+1-\text{side}]+\text{prefixSums}[i+1-\text{side}][j+1-\text{side}]$。

用 $\text{maxSide}$ 表示元素和小于等于 $\text{threshold}$ 的的正方形区域的最大边长，初始时 $\text{maxSide}=0$。从上到下、从左到右依次遍历矩阵 $\text{mat}$ 的每个元素，对于每个行下标 $i$ 和列下标 $j$，执行如下操作。

1. 计算以当前位置为右下角的前缀和 $\text{prefixSums}[i+1][j+1]$。

2. 令 $\text{side}=\text{maxSide}+1$，如果以 $(i,j)$ 为右下角且边长为 $\text{side}$ 的正方形区域存在且该正方形区域的元素和小于等于 $\text{threshold}$，则用 $\text{side}$ 更新 $\text{maxSide}$，然后将 $\text{side}$ 加 $1$。重复该操作，直到以 $(i,j)$ 为右下角且边长为 $\text{side}$ 的正方形区域不存在或该正方形区域的元素和大于 $\text{threshold}$。

当遍历到位置 $(i,j)$ 时，如果 $\text{maxSide}$ 的值更新，则当 $\text{maxSide}$ 更新结束时，一定存在以当前位置为右下角且边长为 $\text{maxSide}$ 的正方形区域的元素和小于等于 $\text{threshold}$，且不存在以当前位置为右下角且边长为 $\text{maxSide}+1$ 的正方形区域的元素和小于等于 $\text{threshold}$。因此上述操作可以得到正确的结果。

由于在遍历矩阵的过程中，$\text{maxSide}$ 的值只会增加，且不会超过矩阵的行数和列数，因此 $\text{maxSide}$ 的总更新次数不会超过 $\min (m,n)$。

代码

class Solution {public int maxSideLength(int[][] mat, int threshold) {int maxSide = 0;int m = mat.length, n = mat[0].length;int[][] prefixSums = new int[m + 1][n + 1];for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {prefixSums[i + 1][j + 1] = prefixSums[i][j + 1] + prefixSums[i + 1][j] - prefixSums[i][j] + mat[i][j];int side = maxSide + 1;while (i + 1 - side >= 0 && j + 1 - side >= 0 && squareSum(prefixSums, i, j, side) <= threshold) {maxSide = side;side++;}}}return maxSide;}public int squareSum(int[][] prefixSums, int row, int col, int side) {return prefixSums[row + 1][col + 1] - prefixSums[row + 1 - side][col + 1] - prefixSums[row + 1][col + 1 - side] + prefixSums[row + 1 - side][col + 1 - side];}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m\times n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵 $\text{mat}$ 的行数和列数。需要遍历矩阵一次，对于矩阵中的每个元素，计算前缀和、计算正方形区域的元素和以及更新正方形的最大边长的时间都是 $O(1)$，且正方形的最大边长最多更新 $\min (m,n)$ 次，因此时间复杂度是 $O(m\times n+\min (m,n))=O(m\times n)$。

• 空间复杂度：$O(m\times n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵 $\text{mat}$ 的行数和列数。需要创建 $(m+1)\times (n+1)$ 的前缀和矩阵。