常见的离散积分方法
常见的离散积分方法
我们来比较几种常用的离散积分方法：
1. 前向欧拉法（Forward Euler）
ui(k)=ui(k−1)+Ts⋅e(k)ui(k)=ui(k−1)+Ts⋅e(k)
- 实现简单
- 但容易数值不稳定，尤其在高频或采样率较低时
- 相当于用矩形面积近似积分
2. 后向欧拉法（Backward Euler）
ui(k)=ui(k−1)+Ts⋅e(k−1)ui(k)=ui(k−1)+Ts⋅e(k−1)
- 比前向欧拉更稳定
- 但响应滞后，精度不如 Tustin
3. ✅ Tustin 变换（Bilinear Transform / Trapezoidal Rule）
ui(k)=ui(k−1)+Ts2⋅(e(k)+e(k−1))ui(k)=ui(k−1)+2Ts⋅(e(k)+e(k−1))
- 也称为梯形积分法
- 用两个采样点之间的平均值来估算积分，更精确
- 数值稳定性好，频率响应接近连续系统
- 是目前工程中最常用的方法之一
📈 举个图示的例子（想象一下）：
假设你有一条曲线 e(t)e(t)，你想计算从 t=0t=0 到 t=kTst=kTs 的面积（积分）。
- 前向欧拉：用当前点的高度 × 宽度（矩形）
- 后向欧拉：用上一个点的高度 × 宽度（矩形）
- Tustin：用当前点和上一个点的平均高度 × 宽度（梯形）
显然，梯形比矩形更接近真实面积。
🧠 为什么不用真正的“积分”？
因为在数字控制器中，你只能在每个采样时刻知道误差值，不能知道误差函数的解析表达式。所以你只能用历史数据来估计积分。
📌 总结：为什么选择 Tustin 变换？
| 特性 | 前向欧拉 | 后向欧拉 | Tustin（梯形） |
|---|---|---|---|
| 实现难度 | 简单 | 简单 | 稍复杂 |
| 精度 | 低 | 中等 | 高 ✅ |
| 稳定性 | 差 | 好 | 好 ✅ |
| 频率响应 | 差 | 一般 | 接近连续系统 ✅ |
| 实际应用 | 少 | 一般 | 最常用 ✅ |
🧩 举个类比：
想象你要计算一个山丘的体积：
- 前向欧拉：你只看山顶的高度来估算，结果误差大
- 后向欧拉：你只看山脚的高度来估算，也有误差
- Tustin：你把山顶和山脚的高度平均一下来估算，更准确