【高等数学】第四章 不定积分——第四节 有理函数的积分

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1. 有理函数的积分

• 有理分式的定义
  两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数，又称有理分式。
  我们总假定分子多项式 $P(x)$ 与分母多项式 $Q(x)$ 之间没有公因式。
  当分子多项式 $P(x)$ 的次数小于分母多项式 $Q(x)$ 的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式。
• 有理分式的拆分
  • 利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式
  • 真分式拆分成部分分式之和
    对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果分母可分解为两个多项式的乘积
    $$Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$$
    且 $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ 没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和（此过程可以采用待定系数法，需要合理假设分子的多项式次数）
    $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$
    如果 $Q_1(x)$ 或 $Q_2(x)$ 还能再分解成两个没有公因式的多项式的乘积，那么就可再分拆成更简单的部分分式
  • 最后，有理函数的分解式中只出现多项式、$\frac{P_1(x)}{(x-a{)}^k}$、$\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q{)}^l}$ 等三类函数（这里 $p^2-4q<0$，$P_1(x)$ 为小于 $k$ 次的多项式，$P_2(x)$ 为小于 $2l$ 次的多项式 ）
    • 对于多项式的积分，采用幂函数的积分公式
    • 对于$\frac{P_1(x)}{(x-a{)}^k}$，令$u=x-a$，二项式展开分子，合并分母，再采用幂函数的积分公式
    • 对于$\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q{)}^l}$，分母配方，采用三角代换求解

2. 可化为有理函数的积分

• 三角函数有理式积分
  令$u=\tan \frac{x}{2},x\in (-\pi ,\pi )$（万能代换），此时$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},\mathrm{d}x=\frac{2}{1+u^2}\mathrm{d}u$$
• 简单根式积分
  如果被积函数中含有简单根式 $\sqrt[n]{ax+b}$ 或 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
  可以令这个简单根式为 $u$
  由于这样的变换具有反函数（可以显式解出$x=f(u)$），且反函数是 $u$ 的有理函数（$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}$也是有理函数）
  因此原积分即可化为有理函数的积分。

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