弹性力学| 应力应变关系

弹性力学| 09 应力应变关系(下)

本章节的知识基于各向同性和无初始应力假设进行推导。

回顾

应力描述 一点处的应力由一个二阶张量进行描述：

$$\sigma =({\sigma }_{ij}{)}_{3\times 3}$$

应力状态方程 一点处的应变状态由一个二阶应变张量描述：

$$\epsilon =({\epsilon }_{ij}{)}_{3\times 3}$$

其中非对角线上元素为角应变的一半。

应力状态方程

$${\sigma }_{ij,j}+F_i=0\left(=\rho \frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2}\right)$$

切应力互等定理

$${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$

应变状态方程

$${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$$

切应变互等定理

$${\epsilon }_{ij}={\epsilon }_{ji}$$

应力应变关系的一般关系 广义胡克定律

$${\sigma }_{ij}=f({\epsilon }_{ij})$$

由Talyor 展开：

$${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ij}^{(0)}+{\left(\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial {\epsilon }_{kl}}\right)}_0{\epsilon }_{kl}$$

我们记：

$$C_{ijkl}={\left(\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial {\epsilon }_{kl}}\right)}_0$$

根据无初始应力假设：

$${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$$

$C_{ijkl}$共有$81$个数。由于：${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$ ${\epsilon }_{ij}={\epsilon }_{ji}$:
可以将$C_{ijkl}$减少$27+18$个剩下$36$个。

应力${\sigma }_{ij}$和应变${\epsilon }_{ij}$因对称性（${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$、${\epsilon }_{ij}={\epsilon }_{ji}$），各仅有6个独立分量。
我们用Voigt序号$a$（1-6） 代替2阶张量的双指标$(ij)$，对应关系如下表：

Voigt序号 $a$	1	2	3	4	5	6
2阶张量指标 $(ij)$	(11)	(22)	(33)	(12)/(21)	(13)/(31)	(23)/(32)
应力分量 ${\sigma }_a$	${\sigma }_{11}$	${\sigma }_{22}$	${\sigma }_{33}$	${\sigma }_{12}$	${\sigma }_{13}$	${\sigma }_{23}$
应变分量 ${\epsilon }_a$	${\epsilon }_{11}$	${\epsilon }_{22}$	${\epsilon }_{33}$	$2{\epsilon }_{12}$*	$2{\epsilon }_{13}$*	$2{\epsilon }_{23}$*

4阶弹性张量$C_{ijkl}$的“双指标”$(ij)$和$(kl)$，分别通过上述规则对应到矩阵的行索引$a$ 和列索引$b$ ，形成6×6的弹性矩阵$[C]$，其元素定义为：
$$C_{ab}=\frac{\partial {\sigma }_a}{\partial {\epsilon }_b}$$
最终：
$$[C]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& C_{14}& C_{15}& C_{16}\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}& C_{24}& C_{25}& C_{26}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}& C_{34}& C_{35}& C_{36}\\ C_{41}& C_{42}& C_{43}& C_{44}& C_{45}& C_{46}\\ C_{51}& C_{52}& C_{53}& C_{54}& C_{55}& C_{56}\\ C_{61}& C_{62}& C_{63}& C_{64}& C_{65}& C_{66}\end{array}\right]$$

弹性体中的功能关系

引理(热力学第一定律) 设一个系统的动能为$E_k$，内能为$V$,热量为$Q$,外界的功为$W$:

$$\mathrm{d}W=\mathrm{d}{E}_k+\mathrm{d}V+\mathrm{d}Q$$

考虑绝热过程

考虑弹性体绝热该过程：
$$\mathrm{d}W=\mathrm{d}{E}_k+\mathrm{d}V$$

弹性体的动能为：

$$E_k=\frac{1}{2}{\iiint }_V\rho \left(\frac{\partial u_i}{\partial t}\frac{\partial u_i}{\partial t}\right)\mathrm{d}V$$

弹性体的外力作功：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}W& =\left({\iiint }_V{F}_i{\dot{u}}_i\mathrm{d}V+{\iint }_{\partial V}{t}_i{\dot{u}}_i\mathrm{d}\mathbf{S}\right)\mathrm{d}t\\ & =\left({\iiint }_V{F}_i{\dot{u}}_i\mathrm{d}V+{\iint }_{\partial V}({\sigma }_{ji}{n}_j){\dot{u}}_{i}d\mathbf{S}\right)\mathrm{d}t\\ & =\left({\iiint }_V{F}_i{\dot{u}}_i\mathrm{d}V+{\iiint }_V\left[{\partial }_j{\sigma }_{ji}\cdot {\dot{u}}_i+{\sigma }_{ji}\cdot {\partial }_j{\dot{u}}_i\right]\mathrm{d}V\right)\mathrm{d}t\\ & ={\iiint }_V\left[(F_i+{\partial }_j{\sigma }_{ji}){\dot{u}}_i+{\sigma }_{ji}{\partial }_j{\dot{u}}_i\right]\mathrm{d}V\cdot \mathrm{d}t\end{array}$$

由应力状态方程：

$$\mathrm{d}{E}_k={\iiint }_V(F_i+{\partial }_j{\sigma }_{ji}){\dot{u}}_i\mathrm{d}V\mathrm{d}t$$

由热力学第一定律：

$$\mathrm{d}V={\iiint }_V{\sigma }_{ji}{\partial }_j{\dot{u}}_i\mathrm{d}V\cdot \mathrm{d}t$$

其中，由应变张量的定义：

$${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\Rightarrow {\dot{\epsilon }}_{ij}=\frac{1}{2}({\dot{u}}_{i,j}+{\dot{u}}_{j,i})$$

和
$${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$
则：
$$\mathrm{d}V={\iiint }_V{\sigma }_{ij}{\dot{\epsilon }}_{ij}\mathrm{d}V\cdot \mathrm{d}t$$

由此可见，在绝热过程中,外界的功全部转化为弹性体的内能，我们称为弹性体的应变能：

$$V={\iiint }_V{v}_e\mathrm{d}V$$

由含参量积分求导：

$$\frac{\partial v_e}{\partial t}={\sigma }_{ij}{\dot{\epsilon }}_{ij}$$

有：

$$\frac{\partial v_e}{\partial t}={\sigma }_{ij}\frac{\partial {\epsilon }_{ij}}{\partial t}$$

两边同时偏积分并注意初值条件：

$$\mathrm{d}{v}_e={\sigma }_{ij}\mathrm{d}{\epsilon }_{ij}\Rightarrow {\sigma }_{ij}=\frac{\partial v_e}{\partial {\epsilon }_{ij}}$$

因此：
$$v_e=\int {\sigma }_{ij}\mathrm{d}{\epsilon }_{ij}$$

对于等温过程

我们使用热力学第二定律进行推导。

定义(熵) 一部分来自于可逆过程中的热交换：一部分来自于不可逆部分的热交换

$$\mathrm{dS}=\mathrm{d}{S}_i+\mathrm{d}{S}_e$$

在弹性变形的可逆过程下：

$$\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}Q}{T}$$

其中，$T$为热力学温度，$S$叫熵，$\mathrm{d}S$叫做熵增，$\mathrm{d}{S}_e$叫做可逆熵增(供熵)。

代入热力学第一定律：

$$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{E}_k}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}(V_1-TS)}{\mathrm{d}T}$$

定义(自由能密度)

$$v_F=v_e-T\eta$$
其中$v_e$表示内能密度，$\eta$为单位体积的熵。

$$V_1-TS={\iiint }_V{v}_F\mathrm{d}V$$

类似处理就可以得到：

$${\sigma }_{ij}=\frac{\partial v_e}{\partial {\epsilon }_{ij}}$$

$$v_F={\int }_0^{{\epsilon }_{ij}}{\sigma }_{kl}d{\epsilon }_{kl}$$

关于不同性质的弹性体的常数简化

极端各向异性弹性体

由：

$${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{\epsilon }_{kl}=\frac{\partial v_e}{\partial {\epsilon }_{ij}}$$

对两边同时取${\epsilon }_{kl}$的导数：

$$C_{ijkl}=\frac{{\partial }^2{v}_e}{\partial {\epsilon }_{ij}\partial {\epsilon }_{kl}}$$

由二阶混合偏导数与求导次序无关：

$$C_{ijkl}=C_{klij}$$

于是可以再次对弹性常数进行缩减为$6+\frac{30}{2}=21$个。

具有一个弹性对称面的各向异性弹性体

我们有应力应变分量坐标变换公式：

$${\sigma }_{i^{\prime }{j}^{\prime }}=n_{i{i}^{\prime }}{n}_{j{j}^{\prime }}{\sigma }_{ij}$$

$${\epsilon }_{i^{\prime }{j}^{\prime }}=n_{i{i}^{\prime }}{n}_{j{j}^{\prime }}{\epsilon }_{ij}$$

代入：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

与$x$轴相关的量，符号都相反。

对应原方程，可以发现，与$z$有关的一部分弹性常数必须为$0$，减去$8$个，变为13个。

$$[C]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& 0& C_{15}& 0\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}& C_{24}& 0& 0\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}& C_{34}& C_{35}& 0\\ 0& C_{24}& C_{34}& C_{44}& 0& 0\\ C_{15}& 0& C_{35}& 0& C_{55}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& C_{66}\end{array}\right]$$

正交各向异性弹性体

类似于上面，再加一个正交平面是弹性对称面就可以再消去四个常数，剩$9$个。可以证明具有两个弹性对称平面的弹性体，在这个两个面上的正交面上也是弹性对称平面。

$$[C]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& 0& 0& 0\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}& 0& 0& 0\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& C_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& C_{55}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& C_{66}\end{array}\right]$$

横观各项同性弹性体

横观各项同性弹性体是一类特殊的各向异性体，核心特征是存在一个对称轴（称为各向同性轴），垂直于该轴的任意平面（横向平面）内，材料沿所有方向的弹性性质完全相同（各向同性），而沿对称轴方向的弹性性质与横向不同。只有$6$个弹性常数。

可以证明：

$$[C]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}& 0& 0& 0\\ C_{12}& C_{11}& C_{13}& 0& 0& 0\\ C_{13}& C_{13}& C_{33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& C_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& C_{44}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{C_{11}-C_{12}}{2}\end{array}\right]$$

各向同性弹性体

各向同性弹性体的广义胡克定律为：

记体应变：

$$\theta ={\epsilon }_{kk}={\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz}$$
$${\sigma }_{ij}=\lambda \theta {\delta }_{ij}+2\mu {\epsilon }_{ij}$$

$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}=\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})+2\mu {\epsilon }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}=\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})+2\mu {\epsilon }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}=\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})+2\mu {\epsilon }_{zz}\\ {\sigma }_{xy}=2\mu {\epsilon }_{xy},\\ {\sigma }_{xz}=2\mu {\epsilon }_{xz}\\ {\sigma }_{yz}=2\mu {\epsilon }_{yz}\end{array}$$

我们引入以下记号：

$$\Theta ={\sigma }_{kk}={\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}=(3\lambda +2\mu )\theta$$

那么反过来：

$${\epsilon }_{ij}=\frac{{\sigma }_{ij}}{2\mu }-\frac{\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}\Theta {\delta }_{ij}$$

各向同性体应变能密度表达式

工程上不常使用拉梅常数，使用杨氏模量$E$和泊松比$\nu$。

定义(杨氏模量$E$和泊松比$\nu$)
$$E=\frac{\mu (3\lambda +2\mu )}{\lambda +\mu }$$
$$\nu =\frac{\lambda }{2(\lambda +\mu )}$$

这是出于在实验上容易测量这个数值而定义的。

那么，使用杨氏模量$E$和泊松比$\nu$的应力应变关系表述为：

$${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{E}\left[(1+\nu ){\sigma }_{ij}-\nu \Theta {\delta }_{ij}\right]$$

我们有：

$$2v_e=\frac{1}{E}\left[\sum _i{\sigma }_i^2-2\nu \left(\sum _{i\ne j}{\sigma }_i{\sigma }_j\right)+2(1+\nu )\left(\sum _{ij}{\sigma }_{ij}^2\right)\right]$$

$$v_e=\frac{E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu )\left({\epsilon }_{xx}^2+{\epsilon }_{yy}^2+{\epsilon }_{zz}^2\right)+\nu {\left({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz}\right)}^2+2(1+\nu )\left({\epsilon }_{xy}^2+{\epsilon }_{xz}^2+{\epsilon }_{yz}^2\right)]$$

这里没有使用爱因斯坦求和写法