数据结构（15）
目录
有向无环图及其应用
一、AOV网
1、核心定义
2、AOV 网的关键概念（与顶点相关）
3、AOV 网的示例（项目开发流程）
4、AOV 网的核心应用：拓扑排序
5、AOV 网的特点与限制
有向无环图及其应用
一、AOV网
概括：用顶点表示活动的网络
AOV 网（Activity On Vertex Network，顶点表示活动的网）是一种有向无环图（DAG），专门用于描述 “活动与活动之间的先后依赖关系”—— 图中的顶点代表具体活动，有向边代表活动的先后顺序（如边 <A,B> 表示 “必须完成活动 A，才能开始活动 B”）。它是解决 “任务调度”“工序安排” 等依赖问题的核心模型，也是拓扑排序的基础。
1、核心定义
AOV 网本质是 “用顶点承载活动、用边承载依赖” 的有向无环图，需满足两个关键条件：
（1）顶点（Vertex）：每个顶点对应一个具体的 “活动”（如项目中的 “需求分析”“代码开发”、生产中的 “零件加工”“组装”）。
（2）有向边（Directed Edge）：若存在边 <Vᵢ, Vⱼ>，则表示 “活动 Vᵢ 是活动 Vⱼ 的前置条件”—— 必须先完成 Vᵢ，才能开始 Vⱼ（Vᵢ 称为 Vⱼ 的 “前驱活动”，Vⱼ 称为 Vᵢ 的 “后继活动”）。
（3）无环性（Acyclic）：AOV 网必须是无环图。若存在环（如 V₁→V₂→V₃→V₁），则意味着 “活动间存在循环依赖”（完成 V₁需先完成 V₂，完成 V₂需先完成 V₃，完成 V₃需先完成 V₁），这种依赖关系无法实现，因此环是 AOV 网的 “非法结构”。
2、AOV 网的关键概念（与顶点相关）
为量化活动的依赖状态，AOV 网引入 “入度” 和 “出度” 两个核心概念，用于后续的拓扑排序
（1）入度（In-degree）：一个顶点（活动）的入度，是指指向该顶点的边的数量 —— 对应 “该活动的前置活动总数”。
示例：若活动 B 的前驱是 A 和 C（边 <A,B>、<C,B>），则 B 的入度为 2。
特殊情况：入度为 0 的顶点（无前置活动），是整个任务的 “起点活动”（可直接开始）。
（2）出度（Out-degree）：一个顶点（活动）的出度，是指从该顶点出发的边的数量 —— 对应 “依赖该活动的后继活动总数”。
示例：若活动 A 的后继是 B 和 D（边 <A,B>、<A,D>），则 A 的出度为 2。
特殊情况：出度为 0 的顶点（无后继活动），是整个任务的 “终点活动”（完成后无后续任务）。
3、AOV 网的示例（项目开发流程）
以 “软件项目开发” 为例，AOV 网的结构如下：
- 顶点（活动）：需求分析（V₁）、UI 设计（V₂）、数据库设计（V₃）、后端开发（V₄）、前端开发（V₅）、测试（V₆）、上线（V₇）。
- 有向边（依赖关系）：<V₁, V₂>（需求分析后才能 UI 设计）、<V₁, V₃>（需求分析后才能数据库设计）、<V₂, V₅>（UI 设计后才能前端开发）、<V₃, V₄>（数据库设计后才能后端开发）、<V₄, V₆>（后端开发后才能测试）、<V₅, V₆>（前端开发后才能测试）、<V₆, V₇>（测试后才能上线）。
对应的 AOV 网结构：
V₁ → V₂ → V₅ → V₆ → V₇↓
V₁ → V₃ → V₄ → V₆
- 入度为 0 的顶点：V₁（项目起点，无前置活动）。
- 出度为 0 的顶点：V₇（项目终点，无后继活动）。
- 无环性：所有边均指向 “后续活动”，无循环依赖，符合 AOV 网要求。
4、AOV 网的核心应用：拓扑排序
AOV 网的核心价值是通过 “拓扑排序”，将活动按依赖关系转化为 “可执行的线性顺序”—— 拓扑排序是对 AOV 网顶点的一种排序，使得对于任意边 <Vᵢ, Vⱼ>，排序中 Vᵢ 一定在 Vⱼ 之前（即 “先执行前置活动，再执行后继活动”）。
拓扑排序的基本步骤（基于入度）：
- 初始化一个队列，将所有入度为 0 的顶点（起点活动）入队。
- 当队列非空时：
- 出队一个顶点 V，将其加入拓扑排序序列。
- 遍历 V 的所有后继顶点 Vⱼ，将 Vⱼ 的入度减 1（表示 “V 已完成，Vⱼ的一个前置条件已满足”）。
- 若 Vⱼ 的入度减为 0（所有前置活动均完成），将其入队。
- 若拓扑排序序列的长度 等于顶点总数，则排序成功（AOV 网无环，活动可按顺序执行）；否则排序失败（AOV 网存在环，依赖关系不可实现）。
示例（上述项目 AOV 网的拓扑排序）：
- 可能的排序结果：V₁ → V₂ → V₃ → V₅ → V₄ → V₆ → V₇（或其他满足依赖的顺序，如 V₁→V₃→V₄→V₂→V₅→V₆→V₇）。
- 排序结果的意义：按此顺序执行活动，可确保所有前置条件均被满足，无冲突。
5、AOV 网的特点与限制
特点：
- 依赖关系可视化：将复杂的 “活动先后顺序” 转化为图形，直观清晰，便于分析任务流程。
- 无环是前提：只有无环的有向图才能作为 AOV 网，否则无法通过拓扑排序得到合法的执行顺序。
- 拓扑排序不唯一：若 AOV 网中存在 “无依赖关系的活动”（如 V₂和 V₃，均依赖 V₁但互不依赖），则它们在拓扑排序中的顺序可互换。
限制：
- 无法描述 “活动持续时间”：AOV 网仅关注 “活动的先后顺序”，不记录活动的执行时间（若需结合时间分析 “关键路径”，需使用 AOE 网 ——Activity On Edge Network，边表示活动的网）。
- 仅适用于 “有向无环” 场景：若活动间存在循环依赖（如 “先审核后提交，先提交后审核”），则无法构建 AOV 网。