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UVa 12333 Revenge of Fibonacci

news 2025/10/30 7:30:19

题目描述

斐波那契数列的定义如下：

$\\ F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \quad \forall n \geq 2$

给定多个测试用例，每个测试用例给出一个数字字符串（最多 $40$ 位），要求找到最小的索引 $n$ （ $n < 100000$ ），使得 $F (n)$ 的十进制表示以该字符串为前缀。如果不存在这样的 $n$ ，则输出 $- 1$ 。

题目分析

问题难点

大数处理：第 $100000$ 个斐波那契数有大约 $20899$ 位，无法用标准数据类型存储
前缀匹配：需要高效匹配多个查询字符串的前缀
性能要求：最多 $50000$ 个测试用例，需要高效算法

关键观察

我们只需要斐波那契数的前 $40$ 位来进行前缀匹配，但计算时必须保证这 $40$ 位的准确性
由于查询是离线的，可以预处理所有查询，然后边计算斐波那契数边进行匹配
使用 $Trie\texttt{Trie}$ 树可以高效地进行多模式前缀匹配

解题思路

1. 高精度计算

使用高精度加法来计算斐波那契数列。为了优化性能：

采用 $8$ 位压位（ $BASE=108\texttt{BASE} = 10^8$ ），减少计算和存储开销
使用滚动数组，只存储最近 $3$ 个斐波那契数
数组 $f[3][MAXN]\texttt{f[3][MAXN]}$ 存储高精度数，其中 $MAXN\texttt{MAXN}$ 是最大位数

2. 前缀匹配优化

构建 $Trie\texttt{Trie}$ 树来存储所有查询前缀：

每个节点包含子节点指针数组 $children[10]\texttt{children[10]}$ 和查询索引列表 $idxs\texttt{idxs}$
对于查询字符串 $"123"\texttt{"123"}$ ，在 $Trie\texttt{Trie}$ 中创建路径 $\rightarrow 2 \rightarrow 3$ ，并将查询索引加入叶节点的 $idxs\texttt{idxs}$ 列表

3. 实时匹配策略

在计算每个斐波那契数时：

提取前 $40$ 位数字（考虑压位的前导零处理）
在 $Trie\texttt{Trie}$ 中遍历匹配路径
如果到达包含查询索引的节点且未被访问过，记录答案并标记为已访问
当所有查询都找到答案时提前终止计算

4. 特殊处理

查询 $"1"\texttt{"1"}$ 直接对应 $F (0)$ 或 $F (1)$
使用 $visited\texttt{visited}$ 标记避免重复处理
计数器 $cnt\texttt{cnt}$ 跟踪已解决的查询数量

参考代码

// Revenge of Fibonacci
// UVa ID: 12333
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-29
// UVa Run Time: 0.320s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 50010, WIDTH = 8, BASE = 100000000;
int f[3][MAXN];
struct node {bool visited;vector<int> idxs;node* children[10];node () { memset(children, visited = 0, sizeof children); }
} root;
int main() {cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);int T;cin >> T;string prefix;int answer[MAXN], cnt = 0;memset(answer, -1, sizeof answer);for (int i = 1; i <= T; i++) {cin >> prefix;if (prefix == "1") { answer[i] = 0; cnt++; continue; }node* current = &root;for (auto c : prefix) {if (!current->children[c - '0']) current->children[c - '0'] = new node();current = current->children[c - '0'];}current->idxs.push_back(i);}int digits[110];int f1 = 0, f2 = 1, f3 = 2, length = 1;f[0][0] = 1, f[1][0] = 1;for (int i = 2; i < 100000; i++) {int carry = 0;for (int j = 0; j < length; j++) {f[f3][j] = f[f1][j] + f[f2][j] + carry;carry = f[f3][j] / BASE;f[f3][j] %= BASE;}if (carry) f[f3][length++] = carry;int ds = 0, firstBlock = 1;for (int j = length - 1; j >= 0 && ds <= 40; j--) {string block = to_string(f[f3][j]);if (firstBlock) firstBlock = 0;else while (block.length() < WIDTH) block = '0' + block;for(auto c : block) digits[ds++] = c - '0';}node* current = &root;for (int j = 0; j < ds; j++) {current = current->children[digits[j]];if (!current) break;if (current->idxs.size() && !current->visited) {current->visited = true;for (auto idx : current->idxs) answer[idx] = i;cnt += current->idxs.size();}}if (cnt == T) break;f1++, f2++, f3++;f1 %= 3, f2 %= 3, f3 %= 3;}for (int i = 1; i <= T; i++) cout << "Case #" << i << ": " << answer[i] << '\n';return 0;
}