UVa 1227 The Longest Constant Gene

题目分析

本题要求我们在 $N$ 个基因组字符串中找出最长的公共子串（$\text{Longest Common Substring}$）。每个基因组由字符 $\text{A}$、$\text{C}$、$\text{G}$、$\text{T}$ 组成，我们需要找到一个最长的连续子串，使得该子串出现在所有 $N$ 个基因组中。

输入输出规格

• 输入：数据组数 $T$（$T\le 20$），每组数据包含 $N$（$2\le N\le 6$）个字符串，每个字符串长度不超过 $1,000,000$。
• 输出：每组数据输出最长公共子串的长度。

问题复杂度分析

由于字符串长度可能达到 $1,000,000$，而 $N$ 很小，我们需要设计一个高效的算法。暴力枚举所有子串的复杂度为 $O(L^2)$，显然不可行。

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解法一：后缀自动机（$\text{Suffix Automaton}$）

算法思想

后缀自动机是一种能够高效处理字符串匹配问题的数据结构。对于本题，我们可以：

1. 对第一个字符串构建后缀自动机
2. 对于其他每个字符串，在自动机上运行并记录每个状态的最大匹配长度
3. 对于每个状态，取在所有字符串中的最小匹配长度
4. 最终答案为所有状态的最小匹配长度中的最大值

算法步骤

1. 构建后缀自动机：

   • 使用最短的字符串构建后缀自动机，减少状态数量
   • 每个状态包含 $\text{len}$（接受的最长子串长度）、$\text{link}$（后缀链接）和 $\text{next}$ 数组（状态转移）

2. 多字符串匹配：

   • 对于每个其他字符串，在后缀自动机上运行
   • 维护当前状态和当前匹配长度
   • 当无法匹配时，通过后缀链接回溯

3. 传播匹配信息：

   • 按状态长度排序，从长到短传播匹配长度
   • 确保父状态能够获得子状态的匹配信息

4. 计算最终答案：

   • 对每个状态，取其在所有字符串中的最小匹配长度
   • 找出所有状态中的最大值

复杂度分析

• 构建自动机：$O(L_1)$
• 每个字符串匹配：$O(L_i)$
• 总复杂度：$O(\sum L_i)=O(N\times L)$

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解法二：$\text{DC3}$ 算法构建后缀数组

算法思想

$\text{DC3}$ 算法是一种线性时间构建后缀数组的方法。结合后缀数组和高度数组（$\text{LCP}$），我们可以高效解决最长公共子串问题。

算法步骤

1. 字符串预处理：

   • 将所有字符串连接，用特殊字符分隔
   • 将 $\text{G}$ 映射为 $\text{B}$，$\text{T}$ 映射为 $\text{D}$，减少字符集大小

2. 构建后缀数组：

   • 使用 $\text{DC3}$ 算法在 $O(n)$ 时间内构建后缀数组
   • 同时计算每个后缀在原数组中的位置

3. 构建高度数组（$\text{LCP}$）：

   • 根据后缀数组计算相邻后缀的最长公共前缀

4. 滑动窗口求解：

   • 使用滑动窗口技术在高度数组上寻找覆盖所有 $N$ 个字符串的最小区间
   • 维护区间内 $\text{LCP}$ 的最小值，并跟踪最大值

$\text{DC3}$ 算法核心

$\text{DC3}$ 算法采用分治策略：

• 将后缀分为三类：模 $3$ 余 $0$、余 $1$、余 $2$
• 递归处理模 $3$ 余 $1$ 和余 $2$ 的后缀
• 合并三类后缀的排序结果

复杂度分析

• 构建后缀数组：$O(n)$
• 构建高度数组：$O(n)$
• 滑动窗口：$O(n)$
• 总复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为连接后字符串的总长度

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代码实现

解法一：后缀自动机实现

// The Longest Constant Gene
// UVa ID: 1227
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-25
// UVa Run Time: 0.900s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int MAXN = 1000010;// 后缀自动机结构体
struct SuffixAutomaton {// 状态节点结构体struct State {int len;        // 该状态能够接受的最长子串长度int link;       // 后缀链接，指向更短的后缀状态int next[4];    // 状态转移数组，4 个字符（A, C, G, T）};vector<State> st;   // 状态数组int sz;             // 当前状态数量int last;           // 最后一个状态// 构造函数，初始化后缀自动机SuffixAutomaton(int maxSize) {