P2216 [HAOI2007] 理想的正方形

题目描述

有一个 $a\times b$ 的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个 $n\times n$ 的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

输入格式

第一行为 $3$ 个整数，分别表示 $a,b,n$ 的值。

第二行至第 $a+1$ 行每行为 $b$ 个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。

输出格式

仅一个整数，为 $a\times b$ 矩阵中所有“ $n\times n$ 正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2

输出 #1

1

说明/提示

矩阵中的所有数都不超过 $1,000,000,000$。

$20\%$ 的数据 $2\le a,b\le 100,n\le a,n\le b,n\le 10$。

$100\%$ 的数据 $2\le a,b\le 1000,n\le a,n\le b,n\le 100$。

解析

只考虑最大值，最小值同理。

考虑 $n^2$ 的正方形中，最大值其实就是这 $n$ 列最大值中的最大值。

我们先用枚举方法，将每个数及其下方共计 $n$ 个数最大值记为 $Ma{x}_{i,j}$，这可以在 $O(abn)$ 的时间复杂度内做到。对于每一个行，只需要求连续 $n$ 个 $Ma{x}_{i,j}$ 最大值即可，这暴力就好了。

此外，如果两个区间最大值都用单调队列亦可解决此题，但在这里小题大做了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a,b; 
int num[1005][1005],Max[1005][1005],Min[1005][1005];
int fr,end,que[1005],bh[1005];
int ans = 10000000001;
signed main() {scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&n);for(int i = 1;i <= a;i++) {for(int j = 1;j <= b;j++) scanf("%lld",&num[i][j]);}for(int i = 1;i <= a - n + 1;i++) {for(int j = 1;j <= b;j++) {Max[i][j] = -1,Min[i][j] = 10000000001;for(int k = 0;k < n;k++) {Max[i][j] = max(Max[i][j],num[i + k][j]);Min[i][j] = min(Min[i][j],num[i + k][j]);}}}for(int i = 1;i <= a - n + 1;i++) {for(int j = 1;j <= b - n + 1;j++) {int M_max = -1,M_min = 100000000001;for(int k = 0;k < n;k++) {M_max = max(M_max,Max[i][j + k]);M_min = min(M_min,Min[i][j + k]);}//printf("(%lld,%lld):%lld %lld\n",i,j,M_max,M_min);ans = min(ans,M_max - M_min);}}printf("%lld\n",ans);return 0;
}