【数论】欧拉函数

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• 质数筛（埃氏筛、欧拉筛）

一、欧拉函数

1. 欧拉函数的定义

欧拉函数：对于一个正整数 $m$，若小于 $m$ 的正整数中与 $n$ 互素的数（包括 $1$）的个数为 $s$，并定义 $\phi (m)=s$，$\phi (m)$ 称为欧拉函数。

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2. 欧拉函数的性质

• 性质 1：若 $a$ 和 $b$ 互素，则

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 性质 2：若 $m,n$ 满足 $m\mid n$，则

$$\phi (m)\mid \phi (n)\text{\hspace{1em}(2)}$$

• 性质 3： 如果 $p$ 是一个素数，则

$$\phi (p)=p-1\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 性质 4： 如果 $p$ 是素数，$k$ 是正整数，则

$$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)\text{\hspace{1em}(4)}$$

证明：

设 $\phi (n)=\phi (p^k)$，即 $n=p^k$。

那么由于 $p$ 是一个素数，所以只要一个数的素因数里不包含 $p$，那么这个数就能与 $n$ 互素。反之只要含 $p$ 这个素因数，那么就不和 $n$ 互素。也就是说像 $p,2p,\cdots p^{k-1}p$ 这些数都不与 $n=p^k$ 互素。那么与 $n$ 互素的就有 $p^k-p^{k-1}$ 个了，即
$$\phi (n)=\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$$

• ==性质 5：==由算数基本定理，对于 $n$ 的质因数分解为 $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$，则
  $$\phi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_m}\right)\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明：利用性质 1，$\phi (n)$ 可以表示为各素因数的积，即
$$\phi (n)=\phi (p_1^{k_1})\cdot \phi (p_2^{k_2})\cdots \phi (p_m^{k_m})$$
能这样拆分是因为 $p_1,p_2,\cdots p_m$ 都是不同的素数，因此无论它们乘了多少次方，又或者把它们乘方之后拿其中几个相乘，它们之间一定不会有相同的因数的。换句话说，$p_1^{k_1},p_2^{k_2},\cdots p_m^{k_m}$ 这些数两两之间都是互素的。因此满足性质 1 的条件——“若 $a$ 和 $b$ 互素”。

于是，我们根据性质 4 进一步展开为：
$$\phi (n)=p_1^{k_1}\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\cdot p_2^{k_2}\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots p_m^{k_m}\left(1-\frac{1}{p_m}\right)$$

把括号外的所有 $p_i^{k_i}$ 合并起来，会发现 $p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$ 就是 $n$。于是
$$\phi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_m}\right)$$
证毕！

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3. 欧拉函数的求法

• 根据定义进行求解

例如，我们求解 $\phi (10)$，可以把所有小于10的正整数全部列出来： { 1 , 2 , ⋯ 9 , 10 } \{1,2,\cdots9,10\} {1,2,⋯9,10}，再去掉与10不互素的数，最后 $\phi (10)=4$。
当然这个方法确实挺万能的，前提是你有时间…

• 根据性质 3 进行求解

若 $m$ 是一个素数，可以直接根据上面提到的（3）式进行求解
例如，$\phi (7)=7-1=6$。

• 性质 1 + 性质 3

若 $m$ 不是一个素数，我们可以根据性质 1 将其拆分为两个欧拉函数的乘积的形式，再通过性质 3，也就是（3）式进行求解
例如，$\phi (66)=\phi (6)\phi (11)=\phi (2)\phi (3)\phi (11)=(2-1)\times (3-1)\times (11-1)=20$。

（注意拆出的两个数一定要是互素的，否则不能这样拆）

• 用通式进行求解

当然，欧拉函数的求法有一个通式，也就是我们上面提到的（5）式：
$$\phi (n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_m}\right)$$

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4. 代码求解单个数的欧拉函数

只求解一个数的欧拉函数，我们可以通过用通式进行求解。

int phi(int n)
{int ret = n;for(int i = 2; i <= n / i; i++){// 如果 i 是 n 的质因数if(n % i == 0){ret = ret / i * (i - 1);  // 先除后乘，保证不会溢出 while(n % i == 0) n /= i;}}// 别忘记判断最后⼀个数if(n > 1) ret = ret / n * (n - 1);return ret;
}

时间复杂度为：$O(\sqrt{n})$。

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5. 欧拉筛打表欧拉函数

如果现在求解 $[1,n]$ 中所有数的欧拉函数，那么每个数都用通式求解，时间复杂度会比较高。我们可以对筛质数时用到的欧拉筛进行改造，来实现求解 $[1,n]$ 中所有数的欧拉函数。这样我们的时间复杂度就能降至 $O(n)$。

在线性筛的过程中：

• 如果该数是质数，那么 $\phi (i)=i-1$；

• 如果该数是合数，每个合数 $x$ 都是被它的最小质因数筛掉的。

  设 $p_j$ 是 $x$ 的最小质因数，则 $x$ 是通过 $p_j\times i$ 筛掉的，也就是 $x=p_j\times i$；

  • 如果 $p_j$ 是 $i$ 的因数，那么 $i$ 这个数就包含了 $x$ 的所有质因子，由欧拉函数的计算公式得：
    $$\begin{array}{rl}\phi (x)& =x\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_m}\right)\\ & =p_j\times i\times \left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_m}\right)\\ & =p_j\times \phi (i)\end{array}$$

  • 如果 $p_j$ 不是 $i$ 的因数，那么 $i$ 和 $p_j$ 必定互质，则
    $$\begin{array}{rl}\phi (x)& =\phi (p_j\times i)\\ & =\phi (p_j)\times \phi (i)\\ & =(p_j-1)\times \phi (i)\end{array}$$

因此，我们可以从前往后用欧拉筛把所有数的欧拉函数求出来。

代码实现：

int p[N], phi[N];  // 分别记录 1-n 中的质数和 1-n 中所有数的欧拉函数
bool vis[N];  // 检查某个数是否被标记为合数
int cnt;  // 记录质数的个数// 线性筛 + 打表欧拉函数
void get_phi(int n)
{// 1 这个数单独处理phi[1] = 1;// 从 2 开始枚举每一个数for(int i = 2; i <= n; i++){// 如果这个数 i 没有被标记，也就是说 i 是质数if(!vis[i]){p[cnt++] = i;  // 记录这个质数phi[i] = i - 1;  // 质数的欧拉函数就是 i - 1}// 标记合数 + 计算欧拉函数for(int j = 0; i * p[j] <= n; j++){int x = i * p[j];vis[x] = true;if(i % p[j] == 0)  // 如果 p[j] 是 i 的因数{phi[x] = phi[i] * p[j];  // 由上面的推导可得break;}else  // i 和 p[j] 互质{phi[x] = phi[i] * (p[j] - 1);  // 由上面的推导可得}}}
}

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二、OJ 练习

1. 仪仗队 ⭐⭐⭐

【题目链接】

[P2158 SDOI2008] 仪仗队 - 洛谷

【题目描述】

作为体育委员，C 君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的 $N\times N$ 的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C 君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐（如下图）。

现在，C 君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

【输入格式】

一行，一个正整数 $N$。

【输出格式】

输出一行一个数，即 C 君应看到的学生人数。

【示例一】

输入

4

输出

9

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 40000$。

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(1) 解题思路

这个问题可以稍加简化一下，由于左上和右下部分能看得见的位置数量一定是完全对称的，所以我们只需考虑这张图的一半即可，像下面标为 1 的位置。

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1

以左下角的人为原点建立一个直角坐标系，不难发现，一个位置 $(x,y)$ 如果想要不被挡住，那么它的坐标一定要满足 $gcd(x,y)=1$，也就是横坐标和纵坐标互质。因为如果它们不互质，那么它就一定会被 $(x/gcd(x,y),y/gcd(x,y))$ 挡住。现在我们只需要求解在右下半区域横纵坐标互质的位置个数即可。

在这个区域中，$x>y$，如果 $x$ 固定，想要求解一个 $y$ 与 $x$ 互质，那么只能从 $[1,x-1]$ 中寻找，现在有点感觉了吗？这不就是在求 $x$ 的欧拉函数吗！对于每一个 $x$ 与它互质的 $y$ 的个数就是 $x$ 的欧拉函数 $\phi (x)$。所以我们只需要对于每一个 $x$ 都求一下它的欧拉函数 $\phi (x)$，然后把它们加起来得到 $n$，那么右下区域能被看到的位置的个数就是 $n$。那么左上半区域能被看到的位置个数也为 $n$，最后再加上对角线上能被看到的一个位置，最终结果就是 $2n+1$。

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(2) 代码实现

#include<iostream>using namespace std;const int N = 4e4 + 10;
int p[N], phi[N];
bool vis[N];
int cnt;// 把 1-n 中所有的欧拉函数都求出来放到 phi 数组
void get_phi(int n)
{phi[1] = 1;  // 1 单独处理for(int i = 2; i <= n; i++){// i 是质数if(!vis[i]){p[cnt++] = i;phi[i] = i - 1;  // 质数的欧拉函数是 i - 1}for(int j = 0; i * p[j] <= n; j++){int x = i * p[j];vis[x] = true;if(i % p[j] == 0){phi[x] = phi[i] * p[j];break;}else  // i 和 p[j] 互质{phi[x] = phi[i] * (p[j] - 1);}}}
}int main()
{int n;cin >> n;// 边长为 n, 但坐标从 0 开始，因此只需求到 n-1get_phi(n - 1);int sum = 0;for(int i = 1; i < n; i++) sum += phi[i];if(n == 1) cout << 0 << endl;else cout << (sum * 2 + 1) << endl;return 0;
}

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2. GCD ⭐⭐⭐⭐

【题目链接】

P2568 GCD - 洛谷

【题目描述】

给定正整数 $n$，求 $1\le x,y\le n$ 且 $\gcd (x,y)$ 为素数的数对 $(x,y)$ 有多少对。

【输入格式】

只有一行一个整数，代表 $n$。

【输出格式】

一行一个整数表示答案。

【示例一】

输入

4

输出

4

【说明/提示】

样例输入输出 1 解释

对于样例，满足条件的 $(x,y)$ 为 $(2,2)$，$(2,4)$，$(3,3)$，$(4,2)$。

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数据规模与约定

• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^7$。

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(1) 解题思路

假设 $gcd(x,y)=d$，则 $x$ 和 $y$ 一定是 $d$ 的倍数，那么我们要找 $x$ 和 $y$ 必定是从 { $d,2d,3d,\cdots ,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor d$ } 这些数中寻找。现在假设 $x=ad,y=bd$，则 $gcd(x,y)=d\times gcd(a,b)$，由于题目要求 $gcd(x,y)$ 必须是质数，也就是说 $d$ 要为质数，所以 $gcd(a,b)$ 必须等于 $1$，即 $a,b$ 必须互质！

现在我们从小到大枚举质数作为 $d$，对于每一个 $d$，去构造 $x,y$。假设我构造出了 $x=5d$，那么 $y$ 等于多少倍的 $d$ 呢？根据上面的认识，这里 $d$ 前面的系数必须要与 $5$ 互质才行，所以 $y$ 的取值总共就有 $\phi (5)$ 个。

所以现在我们知道了，首先从小到达枚举质数 $d$，之后用 $1d,2d,3d,\cdots$ 一直到 $\lfloor \frac{n}{d}\rfloor d$ 作为 $x$，它们对应的 $y$ 的取值个数分别是 $\phi (1),\phi (2),\phi (3),\cdots \phi (\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$，总共 $\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)$ 个。像这样枚举完之后我们总共会有 $\sum _{d\in p}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)$ 个取值（ 这里 $p$ 表示 $[1,n]$ 中的质数）。

由于这道题的 $x$ 和 $y$ 可以互换位置，所以对于每一个 $d$，我们可以得到的对数一共有 $2[\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\phi (i)]-1$ 个。因此最终的答案为
∑ d ∈ p ⁡ { 2 [ ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ φ ( i ) ] − 1 } \sum\limits_{d\in \operatorname{p}}\{2[\sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \varphi(i)] - 1\} d∈p∑​{2[i=1∑⌊dn​⌋​φ(i)]−1}
由于我们要多次计算欧拉函数的部分和，为了快速计算它们的和，我们可以在打表完欧拉函数之后求一下前缀和。

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(2) 代码实现

#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e7 + 10;
int p[N], phi[N], cnt;
LL pref[N];
bool vis[N];// 打表欧拉函数
void get_phi(int n)
{phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){if(!vis[i]){p[cnt++] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 0; i * p[j] <= n; j++){int x = i * p[j];vis[x] = true;if(i % p[j] == 0){phi[x] = p[j] * phi[i];break;}else{phi[x] = (p[j] - 1) * phi[i];}}}
}// 求欧拉函数表的前缀和
void pre_sum(int n)
{for(int i = 1; i <= n; i++){pref[i] = pref[i - 1] + phi[i];}
}int main()
{int n;cin >> n;get_phi(n);pre_sum(n);LL sum = 0;// 从小到大枚举质数for(int i = 0; i < cnt; i++){sum += pref[n / p[i]] * 2 - 1;}cout << sum << endl;return 0;
}