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密码脱落
题目描述
X 星球的考古学家发现了一批古代留下来的密码。
这些密码是由 A、B、C、D 四种植物的种子串成的序列。
仔细分析发现，这些密码串当初应该是前后对称的（也就是我们说的镜像串）。
由于年代久远，其中许多种子脱落了，因而可能会失去镜像的特征。
你的任务是：给定一个现在看到的密码串，计算一下从当初的状态，它要至少脱落多少个种子，才可能会变成现在的样子。
输入描述
输入一行，表示现在看到的密码串（长度不大于 1000）。
输出描述
要求输出一个正整数，表示至少脱落了多少个种子。
输入输出样例
示例 1
输入
ABCBA```txt
>输出
```txt
0
```txt#### 示例2>输入
```txt
ABDCDCBABC
输出
3
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 256M
总通过次数: 1860 | 总提交次数: 2184 | 通过率: 85.2%
难度: 困难 标签: 2016, 省赛, 动态规划
算法思路：动态规划求解最长回文子序列
问题本质：计算使字符串变为回文串的最少删除字符数（即原字符串长度减去最长回文子序列长度）。
核心思想：使用区间动态规划求解最长回文子序列（LPS），公式为：
最少删除数 = 字符串长度 - LPS长度
动态规划状态定义
dp[i][j]：表示子串s[i..j]的最长回文子序列长度- 状态转移方程：
算法步骤
-
初始化：
- 单个字符的LPS长度为1：
dp[i][i] = 1 - 相邻字符若相同则LPS为2：
s[i]==s[i+1] ? dp[i][i+1]=2 : 1
- 单个字符的LPS长度为1：
-
区间扩展（长度3到n）：
- 枚举区间长度
len从 3 到n - 枚举左端点
i，计算右端点j = i+len-1 - 根据
s[i]和s[j]是否相等更新dp[i][j]
- 枚举区间长度
-
结果计算：
最少删除数 = n - dp[0][n-1]
算法演示
代码实现（C++）
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;
int dp[N][N];int main() {string s;cin >> s;int n = s.size();// 初始化长度为1和2的区间for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = 1;if (i < n-1) dp[i][i+1] = (s[i] == s[i+1]) ? 2 : 1;}// 区间DP：长度从3到nfor (int len = 3; len <= n; len++) {for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {int j = i + len - 1;if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;else dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);}}cout << n - dp[0][n-1] << endl;return 0;
}代码解析
-
初始化阶段（L12-L17）：
- 对角线
dp[i][i]=1（单字符必为回文） - 相邻字符若相等则LPS=2，否则为1
- 对角线
-
核心DP循环（L20-L27）：
- 外层循环：区间长度
len从3到n - 内层循环：左端点
i遍历所有起始位置 - 根据端点字符是否相等选择转移路径
- 外层循环：区间长度
-
结果输出（L29）：
直接计算n - dp[0][n-1]
实例验证
| 输入 | LPS | 长度 | 删除数 | 输出 |
|---|---|---|---|---|
"ABCBA" | "ABCBA" | 5 | 5-5=0 | 0 |
"ABDCDCBABC" | "ABDCDBA" | 7 | 10-7=3 | 3 |
"A" | "A" | 1 | 1-1=0 | 0 |
"AB" | "A"或"B" | 1 | 2-1=1 | 1 |
注意事项
-
边界处理：
- 当
j = i+1时需单独初始化 - 空串情况（题目保证非空）
- 当
-
空间优化：
- 使用滚动数组可将空间复杂度从 O(n2) 降为 O(n)
int dp[2][N]; // 奇偶行交替计算 -
时间效率：
- 时间复杂度 O(n2)，n=1000 时约 106 次操作
- 1秒内可完成最大规模数据
多方位测试点
| 测试类型 | 输入样例 | 预期输出 | 验证要点 |
|---|---|---|---|
| 最小边界 | "A" | 0 | 单字符处理 |
| 相邻字符 | "AA"/"AB" | 0/1 | 双字符回文判断 |
| 全相同字符 | "AAAAA" | 0 | 完整回文处理 |
| 无回文子序列 | "ABCDEF" | 5 | 最坏情况性能 |
| 交叉回文 | "ABADEDBA" | 2 | 复杂序列处理 |
| 最大长度(1000) | 全A字符串 | 0 | 时间/空间边界 |
优化建议
-
空间优化（滚动数组）：
bool cur = 0; for (int len=2; len<=n; len++) {cur = !cur;for (int i=0; j=i+len-1 < n; i++) {if (s[i]==s[j]) dp[cur][j] = dp[!cur][j-1] + 2;else dp[cur][j] = max(dp[!cur][j], dp[cur][j-1]);} } -
分支优化：
// 预处理字符匹配 if (s[i]==s[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2; else dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j]); -
并行计算（OpenMP）：
#pragma omp parallel for for (int len=3; len<=n; len++) {// 内层循环独立 }