考研数学——一元函数微分学篇

一元函数微分学

一元函数微分学相关命题的常见反例

1. 狄利克雷函数：$f(x)$不连续
2. $\sin \frac{1}{x}$（震荡间断点）

下面这题选B，请你为其他三个选项分别举出反例

曲率计算公式

直角坐标下的曲率计算公式

参数方程的曲率计算公式

推导过程如下

极坐标下的曲率计算公式
这个我们就是用上面的参数方程公式来做的

微分方程

伯努利方程

伯努利方程的标准形式
一阶伯努利方程的严格定义需满足以下形式：
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

伯努利方程的求解关键是通过变量代换消去非线性的$y^n$项，将其转化为一阶线性方程。具体步骤分为3步，逻辑清晰且具有通用性：

步骤1：消去方程右边的$y^n$项
方程两边同时除以$y^n$（需注意$y\ne 0$，后续需验证y=0是否为解），将方程改写为：
$$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

步骤2：引入变量代换，转化为线性方程
观察上式，$y^{-n}\frac{dy}{dx}$ 可表示为某一新变量导数的“常数倍”。定义新变量：
$$z=y^{1-n}$$

对z关于x求导（利用复合函数求导法则）：
$$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

将 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-n}{y}^n\cdot \frac{dz}{dx}$ 代入步骤1的方程，化简后得到：
$$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)$$

两边同乘$(1-n)$，最终转化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式：
$$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

步骤3：求解线性方程并回代
此时方程已转化为关于$z(x)$的一阶线性方程，记为：
$$\frac{dz}{dx}+P^{\ast }(x)z=Q^{\ast }(x)$$
其中 $P^{\ast }(x)=(1-n)P(x)$，$Q^{\ast }(x)=(1-n)Q(x)$。

这类线性方程的解法是“常数变易法”，其通解公式为：
$$z=e^{-\int P^{\ast }(x)dx}\left[\int Q^{\ast }(x)e^{\int P^{\ast }(x)dx}dx+C\right]$$

将$z=y^{1-n}$回代到上述通解中，即可得到原伯努利方程关于$y(x)$的通解。

最后需补充：若$y=0$满足原方程（代入后左右两边均为0），则$y=0$也是方程的一个解，需根据初始条件判断是否纳入最终结果。

欧拉方程

1. 标准形式（二阶）
对于自变量 $x>0$，方程形式为：
$$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=0$$
其中：

• $y=y(x)$ 是待求函数，$y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ 分别是一阶、二阶导数；
• $p$、$q$ 是常数（与 $x$ 无关）。

2. 求解方法：变量代换
令 $t=\ln x$（即 $x=e^t$），将自变量从 $x$ 转化为 $t$，利用复合函数求导法则：

• $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{dy}{dt}$；
• KaTeX parse error: Expected group as argument to '\left' at end of input: …c{1}{x^2} \left\frac{d^2y}{dt2} - \frac{dy}{dt} \right)$。

代入原方程后，可转化为常系数线性微分方程：
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=0$$
再通过求解特征方程（如 $r^2+(p-1)r+q=0$）得到通解，最后代回 $t=\ln x$ 即可。