10.9 换根dp

F. Tree with Maximum Cost

问题 - F - Codeforces — Problem - F - Codeforces

换根dp模版题。

和P3478 POI 2008] STA-Station - 洛谷那题差距只在点权。

和P2986 USACO10MAR] Great Cow Gathering G - 洛谷奶牛那题差距在点权和边权。

题意：设顶点为v，最大化${\sum }_{i=1}^{n}dis(i,v)\cdot a_i$。

思路：先让1为顶点，求出${\sum }_{i=1}^{n}dis(i,1)\cdot a_i$。再遍历换根，保存最大值为答案。

换根的公式推理见下：

我们以2,3->4->5->1为例，容易发现以1为根贡献相当于：2+3 +2+3+4 +2+3+4+5。

如果转移5为根，原本5的子树2 3 4 5都变近了，只有它的上子树1变远。

发现改变后的贡献为： 2+3 +2+3+4 +1 这相当于dp[1]-siz[5]+(n-siz[5])；

同理，我们将5转移为4发现： 2+3 +5+1 +1 相当于dp[4]-siz[4]+(n-siz[4])。

我们可以用dfs求出根的子树点权值和，用n减去就是它的上子树点权值和。

故得到换根转移公式： dp[u] = dp[fa] - siz[u] + (sum - siz[u])；

int siz[N]; // i子树的点权和
int dp[N];  // 以i为根的答案
void solve()
{cin >> n;rep(1, i, n){cin >> a[i];sum += a[i];}m = n - 1;while (m--){cin >> x >> y;e[x].emplace_back(y);e[y].emplace_back(x);}auto dfs1 = [&](this auto &&self, int u, int fa, int dep) -> void { // 计算以1为根siz[u] = a[u];for (auto x : e[u]){if (x == fa){continue;}self(x, u, dep + 1);siz[u] += siz[x];dp[1] += siz[x];}};auto dfs2 = [&](this auto &&self, int u, int fa) -> void { // 向子节点换根if (u != 1)dp[u] = dp[fa] - siz[u] + (sum - siz[u]);//换根之后，原根的子树都变小了，上子树变大for (auto x : e[u]){if (x == fa){continue;}self(x, u);}};dfs1(1, 0, 1);dfs2(1, 0);ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)ans = max(ans, dp[i]);cout << ans;
}