【数据结构】优先级队列（堆）

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前言

本文会涉及到二叉树相关知识以及队列的相关知识，如有疑问可以查看博主前几篇文章（点击下方链接可以快捷进入）或者评论区见。
栈和队列
树、二叉树

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优先级队列

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

优先级队列的模拟实现

JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。

注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。

将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

堆的创建

堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？

仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在

1.parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child表示为最小孩子。
2.将parent与较小的孩子child比较，
如果：
（1）parent小于较小的孩子child，调整结束
（2）否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续 。

public class MyPriorityQueue {public int[] elem;public int usedSize;public MyPriorityQueue(int[] elem) {this.elem = new int[10];}public void shiftDown(int parent,int usedSize){int child = parent*2 + 1;while(child < usedSize){if(elem[child] < elem[child + 1]){child++;}if(elem[child] > elem[parent]){break;}swap(elem,parent,child);parent = child;child = parent*2 + 1;}}private void swap(int[] elem,int parent,int child){int tmp = elem[child];elem[child] = elem[parent];elem[parent] = tmp;}
}

注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为O(logN)

堆的创建

对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？

public void createHeap(int[] array){for (int parent = 0; parent < array.length; parent++) {shiftDown(parent,usedSize);usedSize++;}}

我们用第一次那个比较复杂的长数组来测试一下代码是否正确：

public class Main {public static void main(String[] args) {int[] array = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};MyPriorityQueue myPriorityQueue = new MyPriorityQueue(array);myPriorityQueue.initElem(array);myPriorityQueue.createHeap();}
}

我们DeBug之后能看出来，确实变成了小根堆。

建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

不过，如果采用向上调整建堆，时间复杂度仍然是O(N*logN)。

堆的插入与删除

堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质

public void offer(int val){if(isFull()){elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);}usedSize++;elem[usedSize - 1] = val;int child = usedSize;int parent = (child - 1)/2;while(parent >= 0){if(elem[child] > elem[parent]){break;}else{swap(this.elem,parent,child);child = parent;parent = (child - 1)/2;}}}

public class Main {public static void main(String[] args) {int[] array = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};MyPriorityQueue myPriorityQueue = new MyPriorityQueue(array);myPriorityQueue.initElem(array);myPriorityQueue.createHeap();myPriorityQueue.offer(10);myPriorityQueue.offer(60);}
}

经验证后代码无误。

堆的删除

注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：

1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整
   

public int poll(){if(isEmpty()){return -1;}int val = elem[0];swap(elem,0,usedSize - 1);usedSize--;siftDown(0,usedSize);return val;}private boolean isEmpty(){return usedSize == 0;}

用堆模拟实现优先级队

import java.util.Arrays;public class MyPriorityQueue {public int[] elem;public int usedSize;public MyPriorityQueue(int[] elem) {this.elem = new int[10];}public void initElem(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {elem[i] = array[i];usedSize++;}}public void createHeap(){for (int parent = (usedSize - 1) / 2; parent >= 0; parent--){siftDown(parent,usedSize);}}public void siftDown(int parent,int usedSize){int child = parent*2 + 1;while(child < usedSize){if(child + 1 < usedSize){if(elem[child] > elem[child + 1]){child++;}}if(elem[child] > elem[parent]){break;}swap(elem,parent,child);parent = child;child = parent*2 + 1;}}private void swap(int[] elem,int parent,int child){int tmp = elem[child];elem[child] = elem[parent];elem[parent] = tmp;}public void offer(int val){if(isFull()){elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);}usedSize++;elem[usedSize - 1] = val;int child = usedSize - 1;int parent = (child - 1)/2;while(parent >= 0){if(elem[child] >= elem[parent]){break;}else{swap(this.elem,parent,child);child = parent;parent = (child - 1)/2;}}}private boolean isFull(){return usedSize == elem.length;}public int poll(){if(isEmpty()){return -1;}int val = elem[0];swap(elem,0,usedSize - 1);usedSize--;siftDown(0,usedSize);return val;}private boolean isEmpty(){return usedSize == 0;}public int peek(){if(isEmpty()){return -1;}return elem[0];}
}

常见习题
1.下列关键字序列为堆的是:()
A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60
D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字8之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()
A: [3，2，5，7，4，6，8] B: [2，3，5，7，4，6，8]
C: [2，3，4，5，7，8，6] D: [2，3，4，5，6，7，8]
[参考答案]
1.A 2.C 4.C

需要注意的是第二题：两个子结点需要先自己比较再和父节点比较。

常用接口介绍

PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。

关于PriorityQueue的使用要注意：

1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常
3. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为O(log2N)
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆—即每次获取到的元素都是最小的元素

PriorityQueue常用接口介绍

优先级队列的构造

public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);ArrayList<Integer> array = new ArrayList<>();array.add(1);array.add(2);PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(array);System.out.println(q3.size());System.out.println(q3.peek());}

用正常方法建立的优先级队列默认是小根堆，怎么变成大根堆呢？

我们去找到原码，可以看出原码这一块还有其他的构造方法。这些方法的参数里面可以传入实现了Comparator接口的比较器。

所以我们只需要改变默认的比较器就可以实现大根堆了，具体操作如下：

static class MyCmp implements Comparator<Integer> {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2 - o1;}}public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>(new MyCmp());queue.offer(1);queue.offer(4);queue.offer(2);queue.offer(3);System.out.println(queue.peek());}

如此做，最终的输出就是最大值4了。

常用方法介绍

最常用的还是这几样，我们模拟实现的时候写过了。

public static void main(String[] args) {int[] arr = {4,1,9,2,8,0,7,3,6,5};
// 一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好
// 否则在插入时需要不多的扩容
// 扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);for (int e: arr) {q.offer(e);}System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 从优先级队列中删除两个元素之和，再次获取优先级最高的元素q.poll();q.poll();System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素q.offer(0);System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 将优先级队列中的有效元素删除掉，检测其是否为空q.clear();if(q.isEmpty()){System.out.println("优先级队列已经为空!!!");}else{System.out.println("优先级队列不为空");}}

PriorityQueue的扩容方式：

private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
private void grow(int minCapacity) {
int oldCapacity = queue.length;
// Double size if small; else grow by 50%
int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
(oldCapacity + 2) :
(oldCapacity >> 1));
// overflow-conscious code
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}
private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity < 0) // overflow
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
Integer.MAX_VALUE :
MAX_ARRAY_SIZE;
}

代码很复杂，简单说来就是这么一个逻辑：

如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

面试题

public static int[] smallestK(int[] arr, int k) {if(arr == null){return null;}if(k == 0){return new int[0];}PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>(arr.length);for (int i = 0; i < arr.length; i++) {queue.add(arr[i]);}int[] ret = new int[k];for (int i = 0; i < k; i++) {ret[i] = queue.poll();}return ret;}

采用一直输出顶部结点（最小结点）的方法虽然很简单，但是并不是topK最好的做法，那topk该如何实现？

欲知后事如何，且听下一章分解😁😁😁

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