新生培训之 前缀和与差分 ----差分篇
之前文章说过，前缀和可以用来求区间和，差分可以用于高效进行区间修改，它通过维护相邻元素的差值来快速进行区间操作。
这篇我就来说一下差分
我们现在给定一个arr[0,0,0,0,0,0],如果先我要给1,3区间都加上1，那我们是不是要遍历一遍，然后给这些范围都加上1，但擦还分就是让你在1这个地方加1,4这个地方-1，然后我们进行求前缀和，得到的就变成arr[0,1,1,1,0,0],这就是差分的高效性
但是呢，如果arr[0,1,0,0,0,0]，同样要给1,3区间加1，然后按上面给1位置加1,4位置-1，那我们得到的就是arr[0,2,2,2,1,1],而不是arr[0,2,1,1,0,0]因为初始值有个1，他会污染后面的值，所以这时候我们引入一个diff数组也就是差分数组，来维护
差分数组定义
对于原数组 arr，差分数组 diff 定义为：
diff[0] = arr[0]
diff[i] = arr[i] - arr[i-1] (i ≥ 1)
为啥这样写可以呢，我们这时候就要用上之前讲的前缀和了，看我下面写的过程就能看出来了
这个过程看看差不多就懂了，下面我写代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int diff[10000];
int arr[10000];
int prefix[10000];
void change_arr(int l,int r,int c){diff[l]+=c;diff[r+1]-=c;
}
int main(){int n;cin>>n;//原数组 for(int i=1;i<=n;i++){cin>>arr[i];}//得到差分数组 for(int i=1;i<=n;i++){diff[i]=arr[i]-arr[i-1];}//修改过程int m,l,r,c;//修改次数,l,r修改区间,修改大小cin>>m; for(int i=0;i<m;i++){cin>>l>>r>>c;change_arr(l,r,c);} for(int i=1;i<=n;i++){prefix[i]=prefix[i-1]+diff[i];}for(int i=1;i<=n;i++){cout<<prefix[i]<<' ';}
}这就是基本的差分过程了，下面我们去做点题
练习
P2367 语文成绩
P2367 语文成绩 - 洛谷
题目背景
语文考试结束了，成绩还是一如既往地有问题。
题目描述
语文老师总是写错成绩，所以当她修改成绩的时候，总是累得不行。她总是要一遍遍地给某些同学增加分数，又要注意最低分是多少。你能帮帮她吗？
输入格式
第一行有两个整数 n，p，代表学生数与增加分数的次数。
第二行有 n 个数，a1∼an，代表各个学生的初始成绩。
接下来 p 行，每行有三个数，x，y，z，代表给第 x 个到第 y 个学生每人增加 z 分。
输出格式
输出仅一行，代表更改分数后，全班的最低分。
输入输出样例
输入 #1复制
3 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1输出 #1复制
2说明/提示
对于 40% 的数据，有 n≤103。
对于 60% 的数据，有 n≤104。
对于 80% 的数据，有 n≤105。
对于 100% 的数据，有 n≤5×106，p≤n，学生初始成绩 ≤100，z≤100。
思路
这就几乎模板了，我就直接在上面那个代码上面改一下了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
int diff[N];
int arr[N];
int prefix[N];
void change_arr(int l,int r,int c){diff[l]+=c;diff[r+1]-=c;
}
int main(){int n,p;cin>>n>>p;//原数组 for(int i=1;i<=n;i++){cin>>arr[i];}//得到差分数组 for(int i=1;i<=n;i++){diff[i]=arr[i]-arr[i-1];}//修改过程int l,r,c;//修改次数,l,r修改区间,修改大小 for(int i=0;i<p;i++){cin>>l>>r>>c;change_arr(l,r,c);} for(int i=1;i<=n;i++){prefix[i]=prefix[i-1]+diff[i];}int ans=0x7f;for(int i=1;i<=n;i++){ans=min(ans,prefix[i]);}cout<<ans;
}P11853 [CSP-J2022 山东] 植树节
P11853 [CSP-J2022 山东] 植树节 - 洛谷
题目背景
受疫情影响，山东省取消了 CSP-J 2022 认证活动，并于次年三月重新命题，在省内补办比赛。
题目描述
植树节快要到了，学校要组织志愿者去给树苗浇水。
有一排树苗，编号依次是 0,1,2,…。
现有 n 个志愿者去给树苗浇水，第 i 个志愿者选定了一个区间 [ai,bi] ，表示第 i 个志愿者将 [ai,bi] 这一区间内的每一棵树都浇一次水。
如某个志愿者选择的浇水区间为 [4,9] ，表示他将给编号为 4,5,6,7,8,9 的树各浇水一次。
当所有的志愿者完成各自所选区间的浇水后，可能有些树苗被不同的志愿者浇水多次，也可能有的树苗一次也没被浇过水。
请你求出浇水最多的树苗被浇了多少次。
输入格式
第 1 行，一个整数 n ，表示志愿者的人数。
第 2 行到第 n+1 行，每行两个整数 ai,bi（i=0,1,2,…n−1），表示志愿者 i 选择的浇水区间。
输出格式
输出 1 行， 1 个整数，表示浇水最多的树苗被浇水的次数。
输入输出样例
输入 #1复制
4 0 2 2 4 1 4 6 7输出 #1复制
3输入 #2复制
4 1000000 1000000 1000000 1000000 0 1000000 1 1000000输出 #2复制
4说明/提示
数据范围
- 对于所有的数据： n≤105；0≤ai≤bi≤106。
测试点编号 ai≤ bi≤ n≤ 特殊性质 1,2,3 103 103 103 无 4,5,6,7 106 106 105 无 8 106 106 105 ai=bi 9 106 106 105 ai=1,bi=103 10 106 106 105 无 附件下载
CSP-J2022入门组二轮补赛试题（山东）.pdf1.58MB
思路 :这个也很简单直接看代码就行
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
const int N=1e6+10;
int arr[N];
void f(int a,int b){arr[a]+=1;arr[b+1]-=1;
}
int main(){cin>>n;int B=0; for(int i=0;i<n;i++){int a,b;cin>>a>>b;f(a,b);B=max(B,b);}for(int i=1;i<=B+1;i++){arr[i]=arr[i-1]+arr[i];}int ans=0;for(int i=0;i<=B+1;i++){if(arr[i]>ans){ans=arr[i];}}cout<<ans;
}P9094 [PA 2020] Mieszanie kolorów
题目描述题目译自 PA 2020 Runda 1 Mieszanie kolorów
Byteasar 正准备给栅栏涂漆。他已经准备了 n 罐白色油漆，他把这些油漆排列成一排，从 1 到 n 编号。他想用这些油漆，但他不想把栅栏涂成白色。他委托了调色专家，调色专家有三种颜料：黄色、蓝色和红色。专家进行了 m 次操作，其中第 i 次操作是向编号在 li 到 ri 之间（包括两端）的所有罐子中加入某种颜料。
油漆的最终颜色取决于被添加到其中的颜料。添加的颜料按照下表和图示进行混合。
颜料 颜色 无 白色 黄色 黄色 蓝色 蓝色 红色 红色 黄色 + 蓝色 绿色 黄色 + 红色 橙色 蓝色 + 红色 紫色 黄色 + 蓝色 + 红色 棕色
Byteasar 想要给栅栏涂成一种颜色。思来想去，他选择了绿色，因为绿色代表了你常会在算法竞赛中看到的 Accepted。他想知道现在有多少罐油漆是绿色的，请帮他数数。
输入格式
第一行两个整数 n,m，分别表示油漆的罐数和专家进行的操作数。
接下来 m 行，每行三个整数 li,ri,ki，表示在第 i 次操作中向编号在 li 到 ri 之间（包括两端）的罐子中加入颜料。加入的颜料是黄色（ki=1），蓝色（ki=2）或红色（ki=3）中的一种。
输出格式
输出一行一个整数，表示在所有操作之后绿色油漆的罐数。
输入输出样例
输入 #1复制
9 5 2 8 1 4 5 2 6 7 3 5 6 2 1 2 2输出 #1复制
3说明/提示
样例 1 解释
操作结束后，这些油漆分别是蓝色、绿色、黄色、绿色、绿色、棕色、橙色、黄色和白色的。因此，只有三罐油漆是绿色。
数据范围
本题采用捆绑测试
对于 100% 的数据，保证 1≤n,m≤106，1≤li≤ri≤n，1≤ki≤3。
思路
这个也没啥讲的，就是弄仨数组，分别是黄蓝红，然后用前缀和弄一下，再最后判断一下哪些范围是绿色就行
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int blue[N],yellow[N],red[N];
int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=0;i<m;i++){int l,r,k;cin>>l>>r>>k;if(k==1) yellow[l]++,yellow[r+1]--;if(k==2) blue[l]++,blue[r+1]--;if(k==3) red[l]++,red[r+1]--;}for(int i=1;i<=n;i++){yellow[i]+=yellow[i-1];blue[i]+=blue[i-1];red[i]+=red[i-1];}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(blue[i]&&yellow[i]&&!red[i]) ans++;}cout<<ans;
}