老题新解|棋盘覆盖

《信息学奥赛一本通》第162题：棋盘覆盖

题目描述
在一个 $2^k\times 2^k$ 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格。现在用 L 型（占 $3$ 小格）骨牌覆盖棋盘上除了特殊方格的所有方格，各骨牌不能重叠。

现给出棋盘的大小和特殊方格所在的位置，请找出这种棋盘。
输入格式
输入两行。
第一行一个正整数 $k$。
第二行两个正整数 $x,y$，表示第 $x$ 行第 $y$ 列为特殊方格。
输出格式
输出一个 $2^k$ 行 $2^k$ 列的棋盘，每两个整数之间由空格隔开。特殊方格用 $0$ 表示。对于其他方格，从 $1$ 开始编号骨牌，输出该方格所属的骨牌编号。
输出任意一种符合要求的答案都算作正确。
输入输出样例 #1
输入 #1
2
2 2
输出 #1
2 2 3 3
2 0 1 3
4 1 1 5
4 4 5 5
说明/提示
本题共有 $10$ 个子任务，第 $i$ 个子任务中 $k=i$。每个子任务记 $10$ 分，你只有通过每个子任务中所有测试点才能获得该子任务的分数。

大家好，我是莫小特。
这篇文章给大家带来《信息学奥赛一本通》中的第 162 题：棋盘覆盖。

一、题目描述

洛谷的题号是：B2163 棋盘覆盖

二、题意分析

这道题是信息学奥赛一本通练习题的第 162 题。

根据输入格式描述，输入两行，第一行为正整数 k，第二行两个正整数 x 和 y，表示第 x 行第 y 列为特殊方格。

使用 int 类型输入数据。

int k;
int x,y;
cin>>k;
cin>>x>>y;

根据题目意思，k 表示输入的幂次，表示棋盘的大小 $2^k\times 2^k$，所以需要定义一个二维数组来存储这个棋盘，使用 int 类型即可。

$2^k$ 可以使用位运算实现，定义一个 int 类型的变量来存储。

int n=1<<k;//n=2^k

定义一个棋盘的二维数组，数组名为 board，全部初始值为 0，写在全局变量也可以，默认全部赋值为 0。

int board[1025][1025]={0};//全部赋值为0

接下来需要根据题目意思来完成输出，根据题目描述，要输出 $2^k$ 行 $2^k$ 列的棋盘，特殊方格用 0 表示，其他方格，从 1 开始编号，并且输出任意一种符合要求的答案都算正确，所以我们写一个函数来完成这个事情。

而根据题目的描述，要除去特殊的方格，所以我们令特殊的方格为 0，其实前面已经全部初始化为 0 了，保险起见，可以写一下。

board[x][y]=0;

接下来需要完成 L 型骨牌，骨牌的编号从 1 开始，所以定义一个变量存储编号。

int tile_id = 1;//编号从1开始

正式开始写棋盘的函数，因为只有赋值，所以无返回值类型，有5个参数：

（1）x, y: 当前子棋盘左上角，行和列。
（2）s：子棋盘的边长。
（3）r，c：当前子棋盘中的特殊格在全局坐标系中的位置。

void qp(int x,int y,int s,int r,int c)
{if(s==1) return; //大小为1的不放牌int id=tile_id++;//本次放置L型骨牌编号int half=s/2;    //棋盘一半边长int midx=x+half-1; //中心四格的上半行int midy=y+half-1; //中心四格的左半列
}

需要判断特殊格在四个象限中的哪一个。

（1）左上 (top-left)
（2）右上 (top-right)
（3）左下 (bottom-left)
（4）右下 (bottom-right)

定义一个变量存储位置。

int quad;
if (r <= midx && c <= midy) quad = 1;
else if (r <= midx && c > midy) quad = 2;
else if (r > midx && c <= midy) quad = 3;
else quad = 4;

在中心放一个 L 型骨牌，覆盖除包含真实特殊格的象限外的三个中心格
中心四格坐标：

(midx, midy) (midx, midy+1)
(midx+1, midy) (midx+1, midy+1)

所以可写判断。

// 左上中心格
if (quad != 1) board[midx][midy] = id;   
// 右上中心格    
if (quad != 2) board[midx][midy + 1] = id; 
// 左下中心格  
if (quad != 3) board[midx + 1][midy] = id; 
// 右下中心格  
if (quad != 4) board[midx + 1][midy + 1] = id; 

递归处理四个象限：

对于真实含有特殊格的象限，传入真实特殊格坐标；
对于其他象限，把我们刚放的对应中心格视为该象限的新“特殊格”。

// 左上
if (quad == 1) qp(x, y, half, r, c);
else qp(x, y, half, midx, midy);// 右上
if (quad == 2) qp(x, y + half, half, r, c);
else qp(x, y + half, half, midx, midy + 1);// 左下
if (quad == 3) qp(x + half, y, half, r, c);
else qp(x + half, y, half, midx + 1, midy);// 右下
if (quad == 4) qp(x + half, y + half, half, r, c);
else qp(x + half, y + half, half, midx + 1, midy + 1);

在主函数中执行。

qp(1, 1, n, x, y); // 从整个棋盘开始递归覆盖

最终输出即可，使用两重循环，下标从 1 开始到 n。

 for(int i=1;i<=n;i++) {for (int j=1;j<=n;j++){if (j>1) cout<<' ';{cout << board[i][j];}  }cout<<'\n';
}

按照样例输入对数据进行验证。

符合样例输出，到网站提交测评。

测试通过！

三、完整代码

该题的完整代码如下：

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int board[1025][1025]={0};//全部赋值为0
int tile_id = 1;//编号从1开始
void qp(int x,int y,int s,int r,int c)
{if(s==1) return; //大小为1的不放牌int id=tile_id++;//本次放置L型骨牌编号int half=s/2;    //棋盘一半边长int midx=x+half-1; //中心四格的上半行int midy=y+half-1; //中心四格的左半列int quad;if (r <= midx && c <= midy) quad = 1;else if (r <= midx && c > midy) quad = 2;else if (r > midx && c <= midy) quad = 3;else quad = 4;// 左上中心格if (quad != 1) board[midx][midy] = id;   // 右上中心格    if (quad != 2) board[midx][midy + 1] = id; // 左下中心格  if (quad != 3) board[midx + 1][midy] = id; // 右下中心格  if (quad != 4) board[midx + 1][midy + 1] = id; // 左上if (quad == 1) qp(x, y, half, r, c);else qp(x, y, half, midx, midy);// 右上if (quad == 2) qp(x, y + half, half, r, c);else qp(x, y + half, half, midx, midy + 1);// 左下if (quad == 3) qp(x + half, y, half, r, c);else qp(x + half, y, half, midx + 1, midy);// 右下if (quad == 4) qp(x + half, y + half, half, r, c);else qp(x + half, y + half, half, midx + 1, midy + 1);
}
int main()
{int k;int x,y;cin>>k;cin>>x>>y;int n=1<<k;//n=2^kboard[x][y]=0;//// 从整个棋盘开始递归覆盖qp(1, 1, n, x, y); for(int i=1;i<=n;i++) {for (int j=1;j<=n;j++){if (j>1) cout<<' ';{cout << board[i][j];}}cout<<'\n';}return 0;
}

四、总结

本题考察了： 递归分治思想、二维数组坐标变换与边界处理。主要知识点是把大棋盘分成 4 个子棋盘，在中心放 L 形砖并把问题递归到四个子棋盘上。

常见易错点

（1）中心坐标（midx / midy）计算错误

正确写法（若子棋盘左上角为 (x,y)，边长 s）：

int half = s/2;
int midx = x + half - 1;
int midy = y + half - 1;

错写成 x+half / y+half 会把中心四格错移一个格，覆盖出错。

（2）下标使用混淆（1-based / 0-based）

示例代码采用 1-based 下标（qp(1,1,n, x,y)），数组 board 也按 1..n 存取。

若改为 0-based，则所有坐标 / mid 计算需相应调整。一定在代码中统一采用一种风格并保持一致。

（3）没有把“放入的中心格”作为子象限的特殊格

在放中心 L 形骨牌后，对不含真实特殊格的三个象限，必须把中心被放置的格子当作该子棋盘的特殊格传入递归，否则递归子问题不满足“每个子棋盘恰有一个特殊格”的前提。

（4）tile_id 编号管理错误

tile_id 应在每次放置 L 形骨牌时自增一次（并被四个中心格使用同一个 id）。若在递归中误用局部 id 或忘记自增，会导致不同骨牌重复编号或编号跳跃。

（5）递归终止条件错误

当 s == 1 时无需放牌（单格子就是特殊格或已被覆盖），必须 return。若写成 s<=1 或在 s==2 时处理不当会导致重复或遗漏覆盖。常见正确处理：if (s==1) return;

（6）越界写入 / 未初始化数组

board 大小需至少 2^k+1 （若用 1-based），建议声明 board[1025][1025] 并初始化为 0。注意赋值 board[midx+1][midy+1] 时不要越界。

（7）输出格式与空格

要求每行 n 个数，用空格隔开且不要行尾多余空格。通常在内层循环：if (j>1) cout << ' '; cout << board[i][j];

---end---

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我们下集见~