【数据结构】算法复杂度

一、算法效率

我们在C语言的学习中已经敲过了一些列的代码，但是代码也是分为好坏的，那我们该如何衡量一个算法的好坏呢？

案列：旋转数组https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

思路：循环k次将数组所有元素向后移一位

有了这个思路结合我们之前学习的C语言知识，我们可以很轻松的写出下面的代码：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {while (k--){int end = nums[numsSize - 1];for (int i = numsSize - 1; i > 0; i--){nums[i] = nums[i - 1];}nums[0] = end;}
}

下面我们在力扣上面进行测试发现案例通过了：

接下来对代码进行提交：

我们可以看到代码并没有通过，提示我们超出时间限制，那我们该如何对这段代码进行优化呢？接下来就然后我们先来学习一下算法复杂度。

复杂度的概念：
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好 坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度（重点）

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数式 T (N)，它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运行时间呢？

 

1. 因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同一个算法程序，用一个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样机器下运行时间不同。
2. 同一个算法程序，用一个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同。
3. 并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

那么算法的时间复杂度是一个函数式T(N)到底是什么呢？这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过c语言编译链接章节学习，我们知道算法程序被编译后生成二进制指令，程序运行，就是cpu执行这些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本一样(实际中有差别，但是微乎其微)，那么执行次数和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决一个问题的算法a程序T(N)=N，算法b程序T(N)=N^2，那么算法a的效率一定优于算法b。

程序运行时间 = 二进制指令运行时间 * 执行次数

案例：

// 请计算⼀下Func1中++count语句总共执⾏了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}
}

我们逐步分析：

for外部循环执行1次内部执行N次，所以第一个嵌套for循环的时间复杂度就是N^2，下面一个for循环是从0~2N，所以时间复杂度就是2N，int M = 10；这段语句只执行了一次所以忽略不计，最后一个while循环执行了10次，所以这段代码的时间复杂度就是：

我们发现N越大，对T(N)的结果影响最大的就是N^2这一项，其余俩项造成的影响就可以忽略不计，所以Func1的时间复杂度：O(N^2)

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确的执行次数，精确执行次数计算起来还是很麻烦的(不同的一句程序代码，编译出的指令条数都是不一样的)，计算出精确的执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T(N)的差别，上面我们已经看到了当N不断变大时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

2.1、大O的渐进表示法

大 O 符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

 

💡 推导大 O 阶规则

 

1. 时间复杂度函数式 T (N) 中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当 N 不断变大时，低阶项对结果影响越来越小，当 N 无穷大时，就可以忽略不计了。
2. 如果最高阶项存在且不是 1，则去除这个项目的常数系数，因为当 N 不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当 N 无穷大时，就可以忽略不计了。
3. T (N) 中如果没有 N 相关的项目，只有常数项，用常数 1 取代所有加法常数。

2.2、时间复杂度计算案列

2.2.1、示例1

// 计算Func2的时间复杂度？ 
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

int count = 0；执行一次忽略不计；第一个for循环是从0~2N，所以时间复杂度就是2N；int M = 10执行一次，忽略不计；while循环执行10次，所以综上这段代码的时间复杂度就是：

2.2.2、示例2

// 计算Func3的时间复杂度？ 
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

int count = 0；执行一次忽略不计；第一个for循环执行了M次，第二个for循环执行了N次，所以这段代码的时间复杂度就是：

Func3的时间复杂度为：O(M+N)

若M == N，O(N)或O(M)；若M >> N，O(M)；若M << N，O(N).

2.2.3、示例3

// 计算Func4的时间复杂度？ 
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func4执行的基本操作次数：

T (N) = 100
根据推导规则第1条得出 
Func4的时间复杂度为：O(1)

2.2.4、示例4

// 计算strchr的时间复杂度？ 
const char* strchr(const char* str, char character)
{const char* p_begin = s;while (*p_begin != character){if (*p_begin == '\0')return NULL;p_begin++;}return p_begin;
}

💡 总结
通过上面我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 (上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数 (下界)
大 O 的渐进表示法在实际中一般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

2.2.5、示例5（冒泡排序）

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ 
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

2.2.6、示例6（易错点）

void func5(int n)
{int cnt = 1;while (cnt < n){cnt *= 2;}
}

注意课件中和书籍中log2 n、log n、lg n的表示当n接近无穷大时，底数的大小对结果影响不大。
因此，一般情况下不管底数是多少都可以省略不写，即可以表示为log n不同书籍的表示方式不同，以上写法差别不大，我们建议使用log n。

2.2.7、示例7（递归）

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？ 
long long Fac(size_t N)
{if (0 == N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

递归算法的时间复杂度 = 递归次数 * 单次递归的时间复杂度

三、空间复杂度（重点）

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.1、空间复杂度计算示例

3.3.1、示例1（冒泡排序）

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ 
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

我们只需要关注函数体，参数不管，size_t end = n;申请了一个无符号整型的空间；int exchange = 0;申请了一个整型变量的空间；size_t i = 1;申请了一个无符号整型的空间，因此，总结下来空间复杂度就是O(1)。

3.3.2、示例2（递归）

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？ 
long long Fac(size_t N)
{if (N == 0)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

递归的空间复杂度 = 递归次数 * 单次递归的空间复杂度

四、常见复杂度对比

五、复杂度算法题

5.1、旋转数组

https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

5.1.1、思路一

时间复杂度O(n^2)
循环K次将数组所有元素向后移动一位（代码不通过）

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {while (k--){int end = nums[numsSize - 1];for (int i = numsSize - 1; i > 0; i--){nums[i] = nums[i - 1];}nums[0] = end;}
}

5.1.2、思路二

空间复杂度O(n)
申请新数组空间，先将后k个数据放到新数组中，再将剩下的数据挪到新数组中

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{int newArr[numsSize];for (int i = 0; i < numsSize; ++i){newArr[(i + k) % numsSize] = nums[i];}for (int i = 0; i < numsSize; ++i){nums[i] = newArr[i];}
}

5.1.3、思路三

空间复杂度O(1)
• 前n-k个逆置：4 3 2 1 5 6 7
• 后k个逆置：4 3 2 1 7 6 5
• 整体逆置：5 6 7 1 2 3 4

void reverse(int* nums, int begin, int end)
{while (begin < end) {int tmp = nums[begin];nums[begin] = nums[end];nums[end] = tmp;begin++;end--;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{k = k % numsSize;reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}