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信号 | 基本描述 / 分类 / 运算

news 2025/10/7 5:10:37

注：本文为 “信号描述 ” 相关合辑。
图片清晰度受引文原图所限。
略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

信号的描述

一、信号的多维度描述

信号可从物理、数学和形态三个维度进行定义，各维度描述既相互独立又相互关联，共同构成对信号的完整认知。

（一）物理描述

从物理本质上看，信号是信息寄寓的变化形式，其物理描述对应信号的物理量，即信号的具体名称。例如：在RC电路中，电流信号与电压信号均为信号的物理描述。
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（二）数学描述

从数学角度出发，信号是一个或多个变量的函数。变量的个数决定了信号的维度：

单变量函数对应一维信号（如语音信号，以时间为变量）；
双变量函数对应二维信号（如黑白图像，以平面空间位置为变量）。

（三）形态描述

从形态表现上，信号以波形或图像的形式呈现，可直观反映信号的变化规律，帮助建立对信号的主观认知。例如：

语音信号表现为声压随时间变化的一维波形；
黑白照片表现为亮度随空间位置（x,y）变化的二维图像。

二、信号的分类

在信号与系统分析中，根据信号的时间函数特性，可将信号分为以下三类：

（一）连续时间信号与离散时间信号

两类信号的区别在于自变量的取值方式，具体定义与表示如下表所示：

信号类型	定义	自变量特性	表示符号
连续时间信号	自变量可在连续区间内任意取值的信号	自变量 $t$ 为连续变量（取值范围通常为 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ ）	$x (t)$
离散时间信号	自变量仅在一组离散值上取值的信号	自变量 $n$ 为整数（取值范围通常为 ${…,−2,−1,0,1,2,…}\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ ）	$x [n]$

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（二）能量信号与功率信号

能量信号与功率信号的划分基于信号的能量和平均功率定义，需分别针对连续时间信号与离散时间信号进行计算。
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1. 连续时间信号 $x (t)$ 的能量与平均功率

能量 $E∞E_{\infty}$ ：信号在无限时间区间内的能量总和，定义为：
$E∞=lim⁡T→∞∫−TT∣x(t)∣2dtE_{\infty} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt$
平均功率 $P∞P_{\infty}$ ：信号在无限时间区间内的平均功率，定义为：
$P∞=lim⁡T→∞12T∫−TT∣x(t)∣2dtP_{\infty} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt$

2. 离散时间信号 $x [n]$ 的能量与平均功率

能量 $E$ ：信号在无限离散时间点上的能量总和，定义为：
$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$
平均功率 $P$ ：信号在无限离散时间点上的平均功率，定义为：
$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$

3. 信号类型判定

能量信号：当 $\to \infty$ （或 $\to \infty$ ）时，能量 $E$ 为有限值，平均功率 $P = 0$ ；
功率信号：当 $\to \infty$ （或 $\to \infty$ ）时，能量 $\to \infty$ ，平均功率 $P$ 为有限值；
非能量非功率信号：既不满足能量信号条件，也不满足功率信号条件的信号（如脉冲信号、斜坡信号）。

（三）周期信号与非周期信号

周期信号是指信号波形随时间（或离散时间点）周期性重复的信号，非周期信号则无重复规律。

1. 连续时间周期信号

定义：若存在非零常数 $T_0$ （称为基波周期），使得对所有 $t$ 均满足：
$kT_0), \quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots$
则称 $x (t)$ 为连续时间周期信号。
基波频率：与基波周期对应的角频率，定义为 $ω0=2πT0\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$ ；
典型示例： $sin⁡(ω0t)\sin(\omega_0 t)$ 、 $cos⁡(ω0t)\cos(\omega_0 t)$ 等正弦信号。

2. 离散时间周期信号

定义：若存在正整数 $N_0$ （称为基波周期），使得对所有 $n$ 均满足：
$mN_0], \quad m = 0, \pm1, \pm2, \dots$
则称 $x [n]$ 为离散时间周期信号。
基波频率：与基波周期对应的角频率，定义为 $ω0=2πN0\omega_0 = \frac{2\pi}{N_0}$ 。

3. 组合信号的周期性判定

组合信号（如 $f_1(t) + f_2(t)$ 或 $f_1[n] + f_2[n]$ ）的周期性需根据各分量信号的周期判断：

连续时间组合信号：设 $f_1(t)$ 的基波周期为 $T_1$ ， $f_2(t)$ 的基波周期为 $T_2$ 。若 $T1T2=n1n2\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_1}{n_2}$ （ $n_1, n_2$ 为互质正整数），则组合信号为周期信号，其基波周期为 $T0=LCM(T1,T2)=n2T1=n1T2T_0 = \text{LCM}(T_1, T_2) = n_2T_1 = n_1T_2$ ；若 $T1T2\frac{T_1}{T_2}$ 为无理数，则组合信号为非周期信号。
离散时间组合信号：设 $f_1[n]$ 的基波周期为 $N_1$ ， $f_2[n]$ 的基波周期为 $N_2$ ，则组合信号一定为周期信号，其基波周期为 $N0=LCM(N1,N2)N_0 = \text{LCM}(N_1, N_2)$ （ $LCM\text{LCM}$ 表示最小公倍数）。

三、信号的基本时域变换

信号的时域变换包括时移、反射、尺度变换，变换仅改变信号的时域位置或形态，不改变信号的本质特性。

（一）时移

时移是指信号沿时间轴（或离散时间轴）平移，信号的波形与幅度保持不变。
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1. 连续时间信号的时移

变换形式： $x(t - t_0)$ （ $t_0$ 为时移量）；
时移规律：
- 当 $t_0 > 0$ 时，信号 $x (t)$ 沿时间轴右移（延时）；
- 当 $t_0 < 0$ 时，信号 $x (t)$ 沿时间轴左移（超前）（可表示为 $x(t + |t_0|)$ ）。

2. 离散时间信号的时移

变换形式： $x [n - m]$ （ $m$ 为时移量，且 $m$ 为整数）；
时移规律：
- 当 $m > 0$ 时，信号 $x [n]$ 沿离散时间轴右移（延时）；
- 当 $m < 0$ 时，信号 $x [n]$ 沿离散时间轴左移（超前）（可表示为 $x [n + ∣ m ∣]$ ）。

（二）反射

反射是指信号以时间轴原点（或离散时间轴原点）为对称轴进行反转，信号的波形形态保持不变，仅左右方向反转。
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1. 连续时间信号的反射

变换形式： $x (- t)$ ；
变换规律：将 $x (t)$ 以 $t = 0$ 的纵轴为对称轴进行反折。

2. 离散时间信号的反射

变换形式： $x [- n]$ ；
变换规律：将 $x [n]$ 以 $n = 0$ 的纵轴为对称轴进行反折。

（三）尺度变换

尺度变换是指信号沿时间轴（或离散时间轴）进行压缩或扩展，改变信号的时域宽度，需注意离散信号的尺度变换存在采样点丢失问题。
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1. 连续时间信号的尺度变换

变换形式： $x (a t)$ （ $a$ 为尺度因子）；
变换规律：
- 当 $a > 1$ 时，信号 $x (t)$ 沿时间轴压缩（时域宽度减小）；
- 当 $0 < a < 1$ 时，信号 $x (t)$ 沿时间轴扩展（时域宽度增大）；
- 当 $a < 0$ 时，信号 $x (t)$ 先反射（因负号），再按 $∣ a ∣$ 进行压缩或扩展。

2. 离散时间信号的尺度变换

变换形式： $x [an]$ （ $a$ 为正整数尺度因子）；
变换规律：
- 当 $a > 1$ 时，信号 $x [n]$ 沿离散时间轴压缩，但会丢失非 $a$ 整数倍的采样点，无法从压缩后的信号恢复原信号；
- 当 $\frac{1}{k}$ （ $k$ 为正整数）时，信号 $x [n]$ 沿离散时间轴扩展，需在原采样点之间插入零值（或插值）以保持信号形态。

3. 综合变换公式

时移、反射、尺度变换的综合表达式可统一表示为：

正向尺度与平移： $\pm b) = x\left[a\left(t \pm \frac{b}{a}\right)\right]$ ；
反向尺度与平移： $\pm b) = x\left[-a\left(t \mp \frac{b}{a}\right)\right]$ 。

变换顺序建议：对时间变量 $t$ （或 $n$ ）进行变换时，建议按“尺度变换→反射→时移”的顺序操作，可避免因顺序混乱导致的错误（在卷积运算中需注意“先反射再时移”的特殊场景）。

（四）变换示例

已知 $x (t)$ 的波形如图 1-2-5 所示（波形范围： $\in [-1,1]$ ，幅度为 2），需绘制 $x(−12t+1)x\left(-\frac{1}{2}t + 1\right)$ 的波形，步骤如下：

尺度变换：对 $x (t)$ 进行扩展（尺度因子 $\frac{1}{2}$ ），得到 $x(12t)x\left(\frac{1}{2}t\right)$ （时域宽度从 $2$ 扩展为 $4$ ，范围 $\in [-2,2]$ ）；
反射变换：对 $x(12t)x\left(\frac{1}{2}t\right)$ 进行反射，得到 $x(−12t)x\left(-\frac{1}{2}t\right)$ （波形以 $t = 0$ 为轴反转，范围仍为 $\in [-2,2]$ ）；
时移变换：对 $x(−12t)x\left(-\frac{1}{2}t\right)$ 右移 $2$ 个单位（因 $−12t+1=−12(t−2)-\frac{1}{2}t + 1 = -\frac{1}{2}(t - 2)$ ），得到 $x(−12(t−2))=x(−12t+1)x\left(-\frac{1}{2}(t - 2)\right) = x\left(-\frac{1}{2}t + 1\right)$ （最终范围 $\in [0,4]$ ）。

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四、信号的奇偶分解

任意信号均可分解为偶分量（Even Component）与奇分量（Odd Component）之和，且分解满足唯一性；同时，信号的能量等于其偶分量能量与奇分量能量之和（能量守恒）。

（一）连续时间信号的奇偶分解

分解公式：
$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$
其中：
- 偶分量 $x_e(t)$ （满足 $x_e(-t) = x_e(t)$ ）：
  $xe(t)=12[x(t)+x(−t)]x_e(t) = \frac{1}{2}\left[x(t) + x(-t)\right]$
- 奇分量 $x_o(t)$ （满足 $x_o(-t) = -x_o(t)$ ）：
  $xo(t)=12[x(t)−x(−t)]x_o(t) = \frac{1}{2}\left[x(t) - x(-t)\right]$
能量关系：
$∫−∞∞x2(t)dt=∫−∞∞xe2(t)dt+∫−∞∞xo2(t)dt\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} x_e^2(t) dt + \int_{-\infty}^{\infty} x_o^2(t) dt$

（二）离散时间信号的奇偶分解

分解公式：
$x[n] = x_e[n] + x_o[n]$
其中：
- 偶分量 $x_e[n]$ （满足 $x_e[-n] = x_e[n]$ ）：
  $xe[n]=12[x[n]+x[−n]]x_e[n] = \frac{1}{2}\left[x[n] + x[-n]\right]$
- 奇分量 $x_o[n]$ （满足 $x_o[-n] = -x_o[n]$ ）：
  $xo[n]=12[x[n]−x[−n]]x_o[n] = \frac{1}{2}\left[x[n] - x[-n]\right]$
能量关系：
$∑k=−∞∞x2[k]=∑k=−∞∞xe2[k]+∑k=−∞∞xo2[k]\sum_{k=-\infty}^{\infty} x^2[k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_e^2[k] + \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_o^2[k]$

（三）分解示例

已知 $x (t)$ 的波形如图 1-2-7 所示（波形： $\in [0,2]$ 时 $x (t) = t$ ，其余时刻 $x (t) = 0$ ），求其偶分量 $x_e(t)$ 与奇分量 $x_o(t)$ ：

计算 $x (- t)$ ： $\in [-2,0]$ 时 $x (- t) = - t$ ，其余时刻 $x (- t) = 0$ ；
偶分量 $xe(t)=12[x(t)+x(−t)]x_e(t) = \frac{1}{2}\left[x(t) + x(-t)\right]$ ： $\in [0,2]$ 时 $xe(t)=t2x_e(t) = \frac{t}{2}$ ， $\in [-2,0]$ 时 $xe(t)=−t2x_e(t) = -\frac{t}{2}$ ，其余时刻 $x_e(t) = 0$ ；
奇分量 $xo(t)=12[x(t)−x(−t)]x_o(t) = \frac{1}{2}\left[x(t) - x(-t)\right]$ ： $\in [0,2]$ 时 $xo(t)=t2x_o(t) = \frac{t}{2}$ ， $\in [-2,0]$ 时 $xo(t)=t2x_o(t) = \frac{t}{2}$ ，其余时刻 $x_o(t) = 0$ 。

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五、信号的基本运算

信号的基本运算包括加减、相乘、微分（仅连续信号）、积分（仅连续信号），运算均在对应时间点（或时间段）上进行。

（一）加减运算

定义：两个信号在同一时间点（或离散时间点）的幅度值相加或相减；
连续时间信号： $x_1(t) \pm x_2(t)$ ；
离散时间信号： $x_1[n] \pm x_2[n]$ ；
运算规则：对所有 $t$ （或 $n$ ），逐点计算 $x_1$ 与 $x_2$ 的幅度代数和。

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（二）相乘运算

定义：两个信号在同一时间点（或离散时间点）的幅度值相乘；
连续时间信号： $x_1(t) \cdot x_2(t)$ ；
离散时间信号： $x_1[n] \cdot x_2[n]$ ；
运算规则：对所有 $t$ （或 $n$ ），逐点计算 $x_1$ 与 $x_2$ 的幅度乘积（典型应用：信号调制）。

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（三）微分运算（仅连续时间信号）

定义：信号对时间的一阶导数，反映信号幅度随时间的变化率；
定义式： $\frac{dx(t)}{dt} = x^{(1)}(t)$ ；
关键特性：在信号的间断点处，微分结果为冲激信号，冲激强度等于间断点处的幅度跳变值（例如：若 $x (t)$ 在 $t = t_0$ 处从 $A$ 跳变到 $B$ ，则 $dx(t)dt\frac{dx(t)}{dt}$ 在 $t = t_0$ 处包含强度为 $B - A$ 的冲激）。

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（四）积分运算（仅连续时间信号）

定义：信号从 $−∞-\infty$ 到当前时刻 $t$ 的定积分，反映信号幅度随时间的累积效应；
定义式： $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau = x^{(-1)}(t)$ ；
关键特性：分段积分时，需考虑前一段积分结果对当前积分的影响（即积分具有“记忆性”），积分后的信号波形比原信号更平滑（可抑制高频噪声）。

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六、连续时间典型信号

连续时间典型信号包括复指数信号、正弦信号，二者通过欧拉公式建立关联，是信号与系统分析的基础信号。

复指数信号是最常用的信号，其表示式为：
$x(t) = Ce^{at}$ ，
其中 $C$ 和 $a$ 一般为复数， $\alpha + j\beta$ ， $\sigma + j\omega$ 。

连续实指数信号

若 $C$ 和 $a$ 为实数，则为实指数信号，波形如图 1-3-1 所示。

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当 $a < 0$ 时，信号衰减。
当 $a > 0$ 时，信号增长。

连续虚指数信号

令 $-j\omega_0$ ，则有 $e^{j\omega_0 t}$

例：证明连续虚指数信号是周期信号。

证明：若存在 $T$ ，使得 $ejω0(t+T)=ejω0te^{j\omega_0(t+T)} = e^{j\omega_0 t}$ 对所有 $t$ 成立，则 $x (t)$ 是周期的。为此必须有 $ejω0T=1e^{j\omega_0 T} = 1$

当 $\frac{2\pi}{\omega_0}$ 时，对所有 $t$ 都满足 $x (t) = x (t + T)$ ，因此 $x (t)$ 是周期信号。

欧拉公式（Euler’s Relation）

$ejωt=cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$

由此可得：
$cos⁡(ωt)=ejωt+e−jωt2\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}$
$sin⁡(ωt)=ejωt−e−jωt2j\sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}$

$ej(ωt+ϕ)=cos⁡(ωt+ϕ)+jsin⁡(ωt+ϕ)e^{j(\omega t + \phi)} = \cos(\omega t + \phi) + j\sin(\omega t + \phi)$

取实部则得到余弦信号：
$A\cos(\omega t + \phi)$

余弦信号是信号与系统分析中经常要用到的一类典型信号，如图 1-3-2 所示。

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余弦信号具有以下性质：

$ω\omega$ 越大，振荡频率越高。
对任何 $ω\omega$ ，都是周期的。

连续周期复指数信号

连续周期复指数信号具有两个性质：

基波频率相同。
周期信号都可以分解为成谐波关系的正弦信号的线性组合，即傅立叶级数表示。

一个成谐波关系的复指数信号的集合：一组基波频率是某一正频率 $ω0\omega_0$ 的整数倍的周期复指数信号：
$xk(t)=ejkω0tx_k(t) = e^{jk\omega_0 t}$
其中 $\pm1, \pm2, \ldots$ 。基波频率 $ωk=kω0\omega_k = k\omega_0$ ，基波周期 $Tk=T0∣k∣T_k = \frac{T_0}{|k|}$ ，它们有一个公共周期 $T_0$ 。

一般复指数信号

一般复指数信号可以通过实指数信号和周期复指数信号来表示：
$x(t) = Ce^{at}$
其中 $\sigma + j\omega$ ， $|C|e^{j\theta}$ 。

则有：
$|C|e^{(\sigma + j\omega)t} = |C|e^{\sigma t}e^{j(\omega t + \theta)}$

一般复指数信号可以看成是实指数信号 $eσte^{\sigma t}$ 和周期复指数信号 $ejωte^{j\omega t}$ 相乘的结果。它包含了这两个信号的基本特性：参数 $ω\omega$ 反映了振荡信号的变化频率，而参数 $σ\sigma$ 则反映了振荡信号峰值的变化趋势，用包络线 $∣C∣eσt|C|e^{\sigma t}$ 来描述信号峰值的变化趋势，如图 1-3-3 所示。

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当 $σ>0\sigma > 0$ 时，是幅度增长的正弦信号。
当 $σ<0\sigma < 0$ 时，是幅度衰减的正弦信号。

七、离散时间典型信号

离散时间典型信号包括复指数序列、正弦序列、单位脉冲序列、单位阶跃序列，其特性与连续时间信号既有相似性，也存在本质差异（如离散信号的频率周期性）。

（一）复指数序列

复指数序列是离散时间信号的基础形式，常用两种表达式表示，需注意其频率的周期性特性。

1. 基本形式

形式 1（常用）： $\alpha^n$ （ $C$ 为复振幅， $α\alpha$ 为复底数）；
形式 2（与连续对应）： $e^{\beta n}$ （ $β\beta$ 为复频率， $α=eβ\alpha = e^{\beta}$ ）。

2. 实指数序列

当 $C$ 与 $α\alpha$ 均为实数时， $\alpha^n$ ，根据 $α\alpha$ 的取值分为四种情况：

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$α>1\alpha > 1$ ：序列幅度随 $n$ 指数增长；
$\alpha < 1$ ：序列幅度随 $n$ 指数衰减；
$\alpha < 0$ ：序列幅度随 $n$ 指数衰减，且正负交替；
$α<−1\alpha < -1$ ：序列幅度随 $n$ 指数增长，且正负交替。

3. 周期特性

离散时间复指数序列 $ejω0ne^{j\omega_0 n}$ 具有独特的频率周期性：
$ej(ω0+2kπ)n=ej2kπn⋅ejω0n=ejω0n,k=0,±1,±2,…e^{j(\omega_0 + 2k\pi)n} = e^{j2k\pi n} \cdot e^{j\omega_0 n} = e^{j\omega_0 n}, \quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots$
即：频率相差 $2π2\pi$ 整数倍的离散复指数序列完全相同，因此离散信号的有效频率范围为 $[−π,π][-\pi, \pi]$ 或 $2\pi]$ 。

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4. 周期性判定

离散时间复指数序列 $ejω0ne^{j\omega_0 n}$ 为周期序列的充要条件是：存在正整数 $N$ （周期），使得对所有 $n$ 满足 $ejω0(n+N)=ejω0ne^{j\omega_0(n + N)} = e^{j\omega_0 n}$ ，即：
$ejω0N=1⟹ω0N=2mπ(m为正整数)e^{j\omega_0 N} = 1 \implies \omega_0 N = 2m\pi \quad (m 为正整数)$
整理得： $ω02π=mN\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ （即 $ω02π\frac{\omega_0}{2\pi}$ 为有理数）。此时：

基波频率： $ω0′=2πN=ω0m\omega_0' = \frac{2\pi}{N} = \frac{\omega_0}{m}$ ；
基波周期： $N0=2mπω0N_0 = \frac{2m\pi}{\omega_0}$ （取最小正整数）。

（二）正弦序列

正弦序列由复指数序列的实部或虚部得到，其频率特性与离散复指数序列一致。

1. 基本形式

$\cos(\omega_0 n + \phi)$
其中：

$A$ 为振幅；
$ω0\omega_0$ 为角频率（单位：rad），有效范围 $[−π,π][-\pi, \pi]$ ；
$ϕ\phi$ 为初相位（单位：rad）。

2. 频率特性

离散正弦序列的包络频率随 $ω0\omega_0$ 的变化规律如下：

当 $ω0=0\omega_0 = 0$ 或 $ω0=2kπ\omega_0 = 2k\pi$ （ $k$ 为整数）时， $\cos(\phi)$ （直流序列，包络频率最低）；
当 $ω0\omega_0$ 从 $0$ 增至 $π\pi$ 时，包络频率逐渐增高；
当 $ω0=π\omega_0 = \pi$ 时， $\cos(\pi n + \phi) = A(-1)^n \cos(\phi)$ （包络频率最高）；
当 $ω0\omega_0$ 从 $π\pi$ 增至 $2π2\pi$ 时，包络频率逐渐降低，最终回到直流序列。

重要结论：离散正弦序列的最高包络频率为 $π\pi$ 。

（三）连续与离散正弦信号对比

特性	连续时间正弦信号 $cos⁡(ω0t)\cos(\omega_0 t)$	离散时间正弦序列 $cos⁡(ω0n)\cos(\omega_0 n)$
振荡频率	$ω0\omega_0$ 不同，信号不同	频率相差 $2π2\pi$ 整数倍，信号相同
周期性	对任意 $ω0≠0\omega_0 \neq 0$ 均为周期信号	仅当 $ω02π=mN\large\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{m}{N}$ （ $m, N$ 为正整数）时为周期序列
基波频率	$ω0\omega_0$	$ω0m\frac{\omega_0}{m}$ （ $m$ 为最简分数分子）
基波周期	$T0=2πω0T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$ （ $ω0≠0\omega_0 \neq 0$ ）	$N0=2mπω0N_0 = \frac{2m\pi}{\omega_0}$ （ $ω0≠0\omega_0 \neq 0$ ，取最小正整数）

（四）单位脉冲序列

单位脉冲序列（又称单位样值序列）是离散时间信号中最基本的信号，具有“采样”特性。

1. 脉冲信号

$δ[n]={1n=00n≠0\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases}$

2. 移位脉冲信号

移位 $k$ 个单位的单位脉冲序列：
$δ[n−k]={1n=k0n≠k\delta[n - k] = \begin{cases} 1 & n = k \\ 0 & n \neq k \end{cases}$
其中：

当 $k > 0$ 时，序列右移 $k$ 个单位；
当 $k < 0$ 时，序列左移 $∣ k ∣$ 个单位。

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3. 采样性质

单位脉冲序列可提取信号在特定离散时间点的幅度值（采样）：

采样 $n = 0$ 处幅度： $\delta[n] = x[0] \delta[n]$ ；
采样 $n = n_0$ 处幅度： $\delta[n - n_0] = x[n_0] \delta[n - n_0]$ 。

（五）单位阶跃序列

单位阶跃序列可由单位脉冲序列累加得到，常用于表示信号的“起始”特性。

1. 阶跃序列

$\begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases}$

2. 移位阶跃序列

移位 $k$ 个单位的单位阶跃序列：
$\begin{cases} 1 & n \geq k \\ 0 & n < k \end{cases}$
其中：

当 $k > 0$ 时，序列右移 $k$ 个单位；
当 $k < 0$ 时，序列左移 $∣ k ∣$ 个单位。

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3. 单位脉冲序列与单位阶跃序列的关系

差分关系：单位脉冲序列是单位阶跃序列的一阶后向差分：
$δ[n]=u[n]−u[n−1]\delta[n] = u[n] - u[n - 1]$
累加关系：单位阶跃序列是单位脉冲序列从 $−∞-\infty$ 到 $n$ 的累加：
$\sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m]$

单位脉冲序列的采样性质：
信号在 $n = 0$ 时的采样：
$\delta[n] = x[0] \delta[n]$
信号在 $n = n_0$ 时的采样：
$\delta[n - n_0] = x[n_0] \delta[n - n_0]$

八、信号运算与变换的工程应用

在信号与系统的工程实践中，前述信号的运算、变换及典型信号模型并非孤立存在，而是广泛应用于通信、控制、图像处理等领域，以下结合文档中核心概念补充其应用逻辑：

（一）信号时移与尺度变换的应用

通信系统中的信号同步：在数字通信接收端，需通过时移操作（调整 $t_0$ 或 $m$ ）对齐接收信号与本地参考信号的时间基准，避免因传输时延导致的码间串扰。例如，对离散接收序列 $x [n - m]$ 调整 $m$ 值，使接收码元与本地采样时钟同步。
语音信号的变速播放：语音信号本质是声压随时间变化的连续信号 $x (t)$ ，通过尺度变换 $x (a t)$ 可实现变速：当 $a > 1$ 时，信号时域压缩，播放速度加快（音调升高）；当 $0 < a < 1$ 时，信号时域扩展，播放速度减慢（音调降低），且需通过插值处理避免离散信号压缩时的采样点丢失问题。

（二）能量信号与功率信号的工程判定

在通信系统设计中，需根据信号的能量/功率特性选择传输方案：

能量信号（如脉冲信号）：能量集中在有限时间内，适合短距离、突发式传输（如雷达探测信号），需重点关注信号的峰值能量以避免传输链路过载；
功率信号（如正弦载波信号）：功率有限但能量无限，适合长距离、持续式传输（如广播电台的载波信号），需重点控制信号的平均功率以满足频谱规范和设备功耗要求；
非能量非功率信号（如斜坡信号）因能量和功率均无界，实际工程中需通过截断处理转化为能量信号后使用。

（三）周期信号的谐波分解与信号传输

根据文档中“周期信号可分解为成谐波关系的正弦信号线性组合”的结论，在通信与信号处理中可实现：

信号调制：将低频基带信号（如语音信号）与高频正弦载波信号相乘，本质是利用正弦信号的周期性和谐波特性，将基带信号频谱搬移至高频频段，以适应无线信道的传输特性（如射频信号传输需符合特定频段的频谱规划）；
频谱分析：通过傅里叶级数分解，可获取周期信号的各次谐波分量（基波频率 $ω0\omega_0$ 的整数倍），进而分析信号的频谱结构，为滤波器设计提供依据（如通过滤除高次谐波实现信号降噪）。

（四）单位脉冲序列的采样应用

离散单位脉冲序列 $δ[n]\delta[n]$ 的采样特性是数字信号处理的基础：

信号采样：在模数转换（ADC）过程中，连续时间信号 $x (t)$ 与周期性脉冲序列（由 $δ[n]\delta[n]$ 扩展得到）相乘，得到离散序列 $x[n] = x(nT_s)$ （ $T_s$ 为采样周期），且需满足奈奎斯特采样定理（采样频率 $f_s = 1/T_s$ 大于信号最高频率的2倍），避免频谱混叠；
系统建模：在离散系统分析中，单位脉冲序列 $δ[n]\delta[n]$ 可作为“测试信号”，通过测量系统对 $δ[n]\delta[n]$ 的响应（单位脉冲响应 $h [n]$ ），利用卷积运算求解系统对任意输入信号的响应，简化系统设计与分析流程。

（五）信号奇偶分解的噪声抑制

信号的奇偶分解特性可用于噪声抑制：实际采集的信号常包含偶对称噪声（如直流偏移）和奇对称噪声（如差分干扰），通过分解得到偶分量 $x_e(t)$ 和奇分量 $x_o(t)$ ，可针对性滤除某类噪声。例如，在生物医学信号（如心电图信号）处理中，通过提取偶分量可去除因电极接触不良导致的奇对称干扰，提升信号质量。

九、小结：信号类型 / 运算公式

连续信号能量

$E∞=lim⁡T→∞∫−TT∣x(t)∣2dtE_{\infty} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \, dt$
$t$ 是连续时间变量； $T$ 是积分时间区间。

离散信号能量

$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$
$n$ 是离散时间变量（整数）； $N$ 是求和区间边界。

连续周期信号

$kT_0) \quad (k = 0, \pm1, \dots)$
$T_0$ 是基波周期； $ω0=2π/T0\omega_0 = 2\pi/T_0$ 是基波频率。

离散周期信号

$mN_0] \quad (m = 0, \pm1, \dots)$
$N_0$ 是基波周期； $ω0=2π/N0\omega_0 = 2\pi/N_0$ 是基波频率。

连续信号奇偶分解

$xe(t)=12[x(t)+x(−t)]x_e(t) = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]$
$xo(t)=12[x(t)−x(−t)]x_o(t) = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]$
$x_e(t)$ 是偶分量； $x_o(t)$ 是奇分量。

离散信号奇偶分解

$xe[n]=12[x[n]+x[−n]]x_e[n] = \frac{1}{2}[x[n] + x[-n]]$
$xo[n]=12[x[n]−x[−n]]x_o[n] = \frac{1}{2}[x[n] - x[-n]]$
$x_e[n]$ 是偶分量； $x_o[n]$ 是奇分量。

复指数信号（连续）

$e^{(r + j\omega_0)t}$
$C$ 是复振幅； $r$ 是衰减/增长系数； $ω0\omega_0$ 是角频率。

复指数序列（离散）

$\alpha^n \quad \text{或} \quad x[n] = C e^{\beta n}$
$C$ 是复振幅； $α=eβ\alpha = e^{\beta}$ 是复底数； $β\beta$ 是复频率。

单位脉冲序列

$δ[n]={1n=00n≠0\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases}$
仅在 $n = 0$ 处取值为1，其余时刻为0。

单位阶跃序列

$\begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases}$
仅在 $\geq 0$ 处取值为 1，其余时刻为 0。

符号规范说明：

连续时间信号用圆括号表示（如 $x (t)$ ），离散时间信号用方括号表示（如 $x [n]$ ），避免混淆；
角频率 $ω0\omega_0$ 单位为 rad（离散）或 rad/s（连续），周期 $T_0$ （连续）单位为 s， $N_0$ （离散）为无量纲整数；
复指数信号中的幅度 $∣ C ∣$ 、初相位 $θ\theta$ 均为实数，确保物理意义明确（幅度非负，相位范围为 $[−π,π][-\pi, \pi]$ ）。