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动态规划中的背包问题：0/1 背包与完全背包的核心解析

news 2025/9/22 7:06:22

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是算法设计中一种重要的思想，其核心在于通过拆解问题、定义状态、寻找状态转移规律，利用子问题的解来高效求解复杂问题。而背包问题作为动态规划的经典应用场景，尤其是 0/1 背包和完全背包，常常是理解 DP 思想的最佳切入点。

一、动态规划的核心：状态与状态转移

在动态规划中，最关键的两个概念是状态和状态转移：

状态：可以理解为问题在某一阶段的 “快照”，通常用一个数组（或矩阵）dp来表示。状态的定义需要精准覆盖问题的约束条件和求解目标。
状态转移：指如何通过前一阶段的状态推导出当前阶段的状态。简单来说，就是 “用过去的结果决定现在的选择”。

对于背包问题，我们的核心目标是：在给定背包容量的限制下，从若干物品中选择组合，使总价值最大（或满足特定条件）。因此，dp数组的设计通常围绕两个核心维度：物品和背包容量。

二、0/1 背包：每个物品只能选一次

1. 问题特点

0/1 背包的关键约束是：每个物品要么被选入背包（1 次），要么不选（0 次），不能重复选择。

2. dp 数组的定义

通常定义dp[j]表示：背包容量为j时，能获得的最大价值（简化为一维数组，二维数组dp[i][j]表示前i个物品中选择时的状态，可优化为一维）。

初始化时，dp[0] = 0（容量为 0 时价值为 0），其余位置可初始化为 0 或负无穷（根据问题场景调整）。

3. 关键：遍历顺序的设计

0/1 背包的核心是确保每个物品只被使用一次，这完全依赖于遍历顺序的设计：

外层循环遍历物品：依次考虑每个物品是否放入背包。
内层循环倒序遍历容量：从最大容量max_weight向 0 遍历。

为什么要倒序？假设我们正处理第i个物品，倒序遍历容量j时，计算dp[j]所依赖的dp[j - weight[i]]是 “未处理第i个物品时的旧状态”（即不包含当前物品）。这样就能保证每个物品在当前容量下只被选择一次。

如果内层正序遍历会怎样？正序遍历会导致dp[j - weight[i]]可能已经包含了第i个物品（因为前面的容量已经更新过），从而导致同一物品被多次选择，违背 0/1 背包的约束。

4. Java 代码实现

public class ZeroOneKnapsack {public static int maxValue(int[] weights, int[] values, int capacity) {int n = weights.length;int[] dp = new int[capacity + 1];// 外层遍历物品for (int i = 0; i < n; i++) {// 内层倒序遍历容量（关键）for (int j = capacity; j >= weights[i]; j--) {// 状态转移方程：选或不选当前物品dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}}return dp[capacity];}public static void main(String[] args) {int[] weights = {2, 3, 4, 5};  // 物品重量int[] values = {3, 4, 5, 6};   // 物品价值int capacity = 8;              // 背包容量System.out.println("0/1背包最大价值: " + maxValue(weights, values, capacity)); // 输出9}
}

三、完全背包：每个物品可以选多次

1. 问题特点

完全背包与 0/1 背包的唯一区别是：每个物品可以被无限次选择（只要背包容量允许）。

2. dp 数组的定义

与 0/1 背包一致，dp[j]仍表示容量为j时的最大价值。

3. 关键：遍历顺序的调整

完全背包允许物品重复选择，因此遍历顺序与 0/1 背包相反：

外层循环遍历物品（与 0/1 背包一致）。
内层循环正序遍历容量：从 0 向max_weight遍历。

为什么正序可行？正序遍历容量时，计算dp[j]所依赖的dp[j - weight[i]]可能已经包含了第i个物品（因为前面的容量已更新），这恰好符合 “物品可以重复选择” 的需求。例如，当j增大时，j - weight[i]可能已经放入过第i个物品，此时再放入一次，相当于多次选择该物品。

4. Java 代码实现


public class CompleteKnapsack {public static int maxValue(int[] weights, int[] values, int capacity) {int n = weights.length;int[] dp = new int[capacity + 1];// 外层遍历物品for (int i = 0; i < n; i++) {// 内层正序遍历容量（关键）for (int j = weights[i]; j <= capacity; j++) {// 状态转移方程：允许重复选择当前物品dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}}return dp[capacity];}public static void main(String[] args) {int[] weights = {2, 3, 4, 5};  // 物品重量int[] values = {3, 4, 5, 6};   // 物品价值int capacity = 8;              // 背包容量System.out.println("完全背包最大价值: " + maxValue(weights, values, capacity)); // 输出12}
}

四、内外层循环顺序的影响

除了遍历方向，物品和容量的内外层循环顺序也需要注意：

0/1 背包：必须外层遍历物品，内层遍历容量（倒序）。若颠倒顺序（外层容量，内层物品），会导致同一物品在不同容量下被多次考虑，可能重复选择，违背 0/1 约束。
完全背包：外层物品、内层容量（正序）是标准写法，但部分场景下颠倒顺序（外层容量、内层物品）也可实现（需结合具体问题验证）。

反例：0/1 背包错误的循环顺序

// 错误示例：0/1背包使用外层容量、内层物品的循环顺序
public static int wrongZeroOneKnapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {int n = weights.length;int[] dp = new int[capacity + 1];// 错误：外层遍历容量for (int j = 0; j <= capacity; j++) {// 错误：内层遍历物品for (int i = 0; i < n; i++) {if (j >= weights[i]) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}}}return dp[capacity];
}

五、总结：0/1 背包与完全背包的核心区别

特性	0/1 背包	完全背包
物品选择限制	每个物品最多选 1 次	每个物品可选无限次
内层遍历方向	倒序（从大到小）	正序（从小到大）
状态依赖	依赖 “未包含当前物品” 的旧状态	依赖 “可能包含当前物品” 的新状态
外层循环	必须遍历物品	通常遍历物品（可调整）
代码核心差异	`for (j = capacity; j >= weight[i]; j--)`	`for (j = weight[i]; j <= capacity; j++)`