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LeetCode刷题记录----279.完全平方数（Medium）

news 2025/9/21 11:14:07

2025/9/20

题目（Medium）：

279.完全平方数

解题思路：

模式识别：对于每个数而言，我们可以感觉到它是由比它更小的数的相加，而每个数也有相应的最小完全平方数。因此子问题和当前问题有同样的结构，可以用动态规划的思路。

思路：

考虑动态转移数组 dp[i] 的含义：当前数字 i 最少需要多少个数的平方累加得到

而对于每个数字 i 而言，它一定可以找到比它更小的数字 j ∈ [1, 根号下i] 范围的数字的平方累加起来。因此，我们可以枚举这个范围内的数字，找到其中累加数字中对应的dp[i - j*j]的最小值，作为当前数字的dp的一部分。

找到之后让 dp[i] = minDp + 1；（+1是因为至少还要加上这个数字本身）

具体代码如下：

public class Solution {public int NumSquares(int n) {int sqrtN = (int)Math.Sqrt(n);if(n == sqrtN * sqrtN)return 1;int[] dp = new int[n+1];//遍历到每一个数字for(int i = 1; i <= n; i++){int min = int.MaxValue;//枚举从[1,根号下i]这段位置的数值需要累加的平方数的数量for(int j = 1; j*j <= i; j++){min = Math.Min(min, dp[i - j*j]);}dp[i] = min + 1;}return dp[n];}
}

时间复杂度：

空间复杂度：O（n)

优化思路：

数学上严格证明了每个数都一定可以表示为四个数格子的平方之和。因此上界确定了是4。

同时也严格证明了

如果是两个正整数的：我们直接从1开始枚举到n，看看能不能找到另一个正整数

如果是一个正整数，那就直接说明它可以被开方为正整数

如果以上情况都不是，则为三个正整数

具体代码如下：（来自LeetCode官方题解，这里只做了搬运）

class Solution {
public:// 判断是否为完全平方数bool isPerfectSquare(int x) {int y = sqrt(x);return y * y == x;}// 判断是否能表示为 4^k*(8m+7)bool checkAnswer4(int x) {while (x % 4 == 0) {x /= 4;}return x % 8 == 7;}int numSquares(int n) {if (isPerfectSquare(n)) {return 1;}if (checkAnswer4(n)) {return 4;}for (int i = 1; i * i <= n; i++) {int j = n - i * i;if (isPerfectSquare(j)) {return 2;}}return 3;}
};