泛函驻点方程与边界条件的推导：含四阶导数与给定边界

题目

问题14：写出泛函
$$\Phi (u)={\int }_0^1\left((u^{\prime \prime }{)}^2-2(u^{\prime }{)}^2+2f(x)u\right)dx+4u(0{)}^2$$
的驻点所满足的方程和边界条件，其中满足边界条件
$$u^{\prime }(1)=u(1).$$

解答

为了找到泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点，需要计算其一阶变分并令其为零。泛函中包含二阶导数，因此欧拉-拉格朗日方程为四阶方程。此外，从变分中推导出自然边界条件。

欧拉-拉格朗日方程

泛函的主体部分为 $$F(x,u,u^{\prime },u^{\prime \prime })=(u^{\prime \prime }{)}^2-2(u^{\prime }{)}^2+2f(x)u$$。计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u}=2f(x),\frac{\partial F}{\partial u^{\prime }}=-4u^{\prime },\frac{\partial F}{\partial u^{\prime \prime }}=2u^{\prime \prime }.$$
欧拉-拉格朗日方程为：
$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial u^{\prime }}+\frac{d^2}{d{x}^2}\frac{\partial F}{\partial u^{\prime \prime }}=0.$$
代入偏导数：
$$2f(x)-\frac{d}{dx}(-4u^{\prime })+\frac{d^2}{d{x}^2}(2u^{\prime \prime })=0.$$
计算导数：
$$2f(x)+4u^{\prime \prime }+2u^{(4)}=0.$$
除以2得：
$$u^{(4)}+2u^{\prime \prime }+f(x)=0.$$
因此，驻点满足的方程为：
$$u^{(4)}+2u^{\prime \prime }+f(x)=0.$$

边界条件

给定边界条件：$$u^{\prime }(1)=u(1)$$。从变分推导其他边界条件。

考虑变分 $$\eta$$，其中在 $$x=1$$ 处有 $${\eta }^{\prime }(1)=\eta (1)$$（由于给定条件）。在 $$x=0$$ 处，$$\eta (0)$$ 和 $${\eta }^{\prime }(0)$$ 任意。

变分边界项必须为零，得到以下边界条件：

• 在 $$x=1$$ 处：
  $$-2u^{\prime }(1)+u^{\prime \prime }(1)-u^{\prime \prime \prime }(1)=0.$$
  代入 $$u^{\prime }(1)=u(1)$$，得：
  $$u^{\prime \prime }(1)-u^{\prime \prime \prime }(1)-2u(1)=0.$$

• 在 $$x=0$$ 处：
  $$u^{\prime \prime }(0)=0,$$
  $$2u^{\prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(0)+4u(0)=0.$$

因此，驻点满足的边界条件为：

• 在 $$x=0$$： $$u^{\prime \prime }(0)=0$$ 和 $$2u^{\prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(0)+4u(0)=0$$，
• 在 $$x=1$$： $$u^{\prime }(1)=u(1)$$ 和 $$u^{\prime \prime }(1)-u^{\prime \prime \prime }(1)-2u(1)=0$$.

答案

驻点满足的方程：
$$u^{(4)}+2u^{\prime \prime }+f(x)=0.$$
边界条件：
$$\begin{array}{rlrl}& \text{在 }x=0:& u^{\prime \prime }(0)& =0,\\ & & 2u^{\prime }(0)+u^{\prime \prime \prime }(0)+4u(0)& =0,\\ & \text{在 }x=1:& u^{\prime }(1)& =u(1),\\ & & u^{\prime \prime }(1)-u^{\prime \prime \prime }(1)-2u(1)& =0.\end{array}$$