以下是与LoRa技术相关的数学公式整理

以下是与LoRa技术相关的数学公式整理，涵盖调制解调、数据速率计算、信号处理及传输特性等核心方面：

1. 数据速率公式

• 基础公式：
  ( \text{DR} = \text{SF} \times \frac{\text{BW}}{2^{\text{SF}}} \times \text{CR} )
  • 参数说明：
    • SF：扩频因子（6~12），值越大，传输距离越远但速率越低。
    • BW：带宽（如125kHz、250kHz、500kHz）。
    • CR：编码率（如4/5、4/6），有效数据占比。
  • 示例：
    • 当BW=125kHz，SF=12，CR=4/5时，数据速率DR≈366bps（远距离传输场景）。
    • 当BW=500kHz，SF=6，CR=4/5时，DR≈46875bps（近距离高速场景）。

2. 调制解调相关公式

• 线性调频信号瞬时频率：
  ( f_{\text{chirp}}(t) = -\frac{\text{BW}}{2} + \frac{\text{BW}}{T} \cdot t )
  • 时域复信号表达式：
    ( y_{\text{upchirp}}(t) = e^{j2\pi t \left( -\frac{\text{BW}}{2} + \frac{\text{BW}}{2T} t \right)} )
• 符号调制：
  ( y_n(t) = e^{j2\pi \frac{n}{T} t} \cdot C )（C为标准upchirp，n为调制符号）
• 解调后的FFT峰值：
  ( F(k) = \begin{cases}
  2^{\text{SF}} & \text{if } k = n \
  0 & \text{otherwise}
  \end{cases} )（通过FFT提取峰值确定符号n）

3. 符号与码片速率关系

• 符号速率：
  ( R_s = \frac{\text{BW}}{2^{\text{SF}}} )
• 码片速率：
  ( R_c = \text{BW} )
• 符号与码片关系：
  ( 1 \text{ symbol} = 2^{\text{SF}} \text{ chips} )

4. 扩频因子与正交性

• 正交码数量：
  扩频因子SF决定了正交码的数量（如SF=4时，有4个正交扩频码），支持多设备同时通信。

5. 接收灵敏度与传输距离

• 香农公式：
  ( C = W \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right) )（C为信道容量，W为带宽，S/N为信噪比）
• 传输距离公式：
  ( d = 10^{\frac{ -P_r + P_t + G_t + G_r - L_c - L_0 - 20 \log f + 147.56 }{20}} )
  • 参数说明：
    • ( P_t )：发射功率（dBm），( G_t )：发射天线增益（dBi）。
    • ( P_r )：接收灵敏度（如LoRa SF12时可达-142dBm）。
    • ( f )：载波频率（如868MHz、915MHz）。
  • 示例：
    SF12比SF7的灵敏度高12.5dB，传输距离延长约4.2倍。

6. LoRA-GA参数初始化（优化方向）

• 参数更新公式：
  ( W’ = W_0 + \gamma AB )
• 初始化方式：
  ( A_0 = \frac{\sqrt{\zeta}}{\gamma} U_{[1:r]} )，( B_0 = \frac{\sqrt{\zeta}}{\gamma} V_{[r:2r]}^T )
  • 目标：通过SVD分解梯度矩阵，实现低秩近似，优化训练效率。

这些公式覆盖了LoRa技术的核心数学原理，适用于分析其传输特性、调制解调过程及性能优化方向。实际应用中需结合具体参数（如带宽、扩频因子）和场景（如距离、速率需求）进行计算。