贪心算法与动态规划

1. 什么是贪心算法？

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。

核心思想：“每步都贪心地选择眼前最好的，不去考虑整个未来的长远情况”。

它就像我们生活中“只顾眼前利益”的决策方式。例如，在找零钱时，为了凑出某个金额，我们总是先给出最大面额的钞票，然后再给更小的，这就是一种贪心思想。

2. 贪心算法的基本要素

一个问题是适用于贪心算法，通常需要具备两个重要的性质：

1. 贪心选择性质

   • 定义：一个问题的全局最优解可以通过一系列局部最优的选择（即贪心选择）来达到。
   • 解释：这是贪心算法可行的前提。它要求我们在做贪心选择时，不会影响子问题的解。也就是说，我们做完一次选择后，只需要解决一个更小的子问题，而不需要回头重新考虑之前的选择。

2. 最优子结构

   • 定义：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
   • 解释：这是动态规划和贪心算法都具备的性质。如果整个问题的最优解可以由各个子问题的最优解推导出来，那么我们就说这个问题具有最优子结构。

简单来说：贪心算法在每一步做出一个不可撤回的决策，并且希望每一步的局部最优能最终堆砌出全局最优。

3. 贪心算法的基本步骤

1. 建立数学模型：将问题抽象为一个数学决策模型。
2. 分解问题：将待求解的问题分解成若干个子问题。
3. 制定贪心策略：根据题意，选择一个贪心准则，决定如何做出当前的最优选择。这是贪心算法的核心和难点。
4. 求解子问题：根据贪心策略，一步步得到子问题的局部最优解。
5. 组合成最终解：将所有的局部最优解组合成原问题的一个解。

4. 经典示例

示例1：找零钱问题

问题：假设硬币体系是 1元、5角、1角、5分、1分。现在要找给顾客 1元8角6分，如何找零才能使找零的硬币个数最少？

贪心策略：每一步都使用当前可用的最大面额的硬币。

步骤：

1. 1元8角6分 = 186分
2. 先找 1元（100分），剩余 86分。
3. 找不了1元了，找 5角（50分），剩余 36分。
4. 找不了5角了，找 1角（10分），可以找3个，剩余 6分。
5. 找 5分（5分），剩余 1分。
6. 找 1分（1分），完成。

找零方案为：1个1元，1个5角，3个1角，1个5分，1个1分。总共 7 枚硬币。

为什么这是有效的？ 在这个特定的硬币体系（ canonical coin systems ）中，贪心算法总能得到最优解。但注意，如果硬币体系很奇怪（例如有 1分, 3分, 4分），要凑出 6分：

• 贪心法：先拿4分，剩余2分，再拿两个1分，共3枚硬币（4，1，1）。
• 最优解：其实是两个3分，共2枚硬币（3，3）。
  所以，贪心算法并不总是能得到最优解！

示例2：活动选择问题

问题：有一系列活动，每个活动有开始时间和结束时间。同一时间只能进行一个活动。如何选择才能使能进行的活动数量最多？

贪心策略：每次都选择结束时间最早的活动，这样就能为后续活动留下更多的时间。

步骤：

1. 将所有活动按结束时间从早到晚排序。
2. 选择第一个结束的活动。
3. 接下来，选择开始时间晚于或等于上一个已选活动结束时间的活动中，结束时间最早的那个。
4. 重复步骤3，直到没有活动可选。

这个策略被证明总能得到最优解。

5. 贪心算法 vs 动态规划

这是一个常见的困惑点，因为它们都用于求解优化问题且都具有最优子结构性质。

特性	贪心算法	动态规划
决策方式	每步做一个不可撤回的决策，不考虑未来。	每步决策依赖于子问题的解，需要保存所有子问题的解并根据这些解做出决策。
子问题	做出一次贪心选择后，只产生一个子问题。	通常会产生多个重叠子问题。
效率	高效，通常时间复杂度更低。	相对较低，因为需要解决所有子问题。
适用范围	要求问题具有贪心选择性质。	适用范围更广，只要具有最优子结构（即使没有贪心选择性质）。
结果	不一定得到全局最优解。	总是得到全局最优解。

关键区别：动态规划在做出决策时，需要考虑所有可能的选择（通常通过比较得出）；而贪心算法则直接做出一个“看似最好”的选择，并且不再回头。

6. 贪心算法的优缺点

优点：

• 高效：算法通常简单、直接，时间复杂度低。
• 易于实现：逻辑清晰，代码通常不长。

缺点：

• 局部最优不等于全局最优：这是最大的陷阱。很多问题无法用贪心算法得到真正的最优解。
• 证明困难：如何证明一个贪心策略一定能得到全局最优解，通常是比较困难的。

7. 如何判断能否使用贪心算法？

这是一个没有万能公式的问题，但可以遵循以下思路：

1. 先尝试：先想一个贪心策略，然后用一些简单的测试用例（尤其是边界 case）去验证它是否能得到最优解。
2. 举反例：尝试思考是否存在一种情况，让你的贪心策略会做出错误的选择。如果能轻易找到反例，则说明贪心算法不适用。
3. 数学证明：尝试从数学上证明该问题具有贪心选择性质和最优子结构。这需要较强的数学功底，也是算法竞赛和研究的重点。

总结

贪心算法是一种强大而直观的“短视”算法。它通过一系列局部最优决策来构建解，期望最终得到全局最优解。

• 核心：制定正确的贪心策略。
• 关键：问题必须具有贪心选择性质和最优子结构。
• 陷阱：局部最优不一定是全局最优。
• 对比：与动态规划相比，它更高效但不总是最优；动态规划更通用但更耗时。

掌握贪心算法需要大量的练习，去熟悉各种经典问题（如霍夫曼编码、最小生成树-Prim和Kruskal算法、单源最短路径-Dijkstra算法等）的贪心策略。